85305 (612484), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A₁, B₁, C₁ комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Или

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пе­ресекаются в точках и , окружности и — в точках и и ок­ружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:

Поэтому будет действительным и число

Следовательно, из вещественности двойного отношения вы­текает вещественность и двойного отношения .

Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

ОПР: Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы (по­добие первого рода), если только и

(углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:

Два равенства и эквивалентны одному или

(35)

где комплексное число, коэффициент подобия.

Если, в частности, - число действительное, то и на основании признака (8) будет . По такой же причине и . Следовательно, треугольники и гомотетичны.

Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и являются подобными и одинаково ориенти­рованными. Ему можно придать симметричный вид:

(36)

или

. (37)

ОПР. Треугольники АВС и подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), и . Последнее равенство дает:

Два равенства

и

эквивалентны одному

или

(38)

где - комплексное число, -коэффициент подобия.

Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:

(39)

или же так:

(40)

Если , то треугольники АВС и будут равны (конгруэнтны).

Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.

Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки с комплексными координатами и требуется построить точку М с координатой z=ab. Тогда, очевидно, . Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).

Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.

Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол . Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным

(41)

или

(42)

Введем в употребление комплексное число являюще­еся одним из корней уравнения (Формула для нахождения корней - ) Другие два корня которого равны 1 и . По теореме Виета для кубического уравнения имеем Это легко проверить и непосред­ственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:

или после умножения первого трехчлена на :

. (43)

Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:

(44)

или же

(45)

Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на отвечает поворот на , то при положительной ориентации треугольника (рис.11), откуда и поэтому

Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут.

Если правильный треугольник АВС вписан в окружность , то при его положительной ориентации и , а при отрицательной ориента­ции и Поэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид:

(46)

Задача 1. Доказать, что треугольник , стороны которого при­надлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной ок­ружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС.

Решение. Принимаем описанную окружность за единичную Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:

Проверяем выполнимость признака (35):

причем , т. е. -действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны.

3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с верши­нами в точках пересечения прямых ВС и , СА и , AB и подобен данным треугольникам.

Решение. Придадим окружности уравнение . Вершины. треуголь­ника служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол . Поэтому Если — точки пересечения прямых ВС и СА и АВ и соот­ветственно, то на основании (17) откуда Аналогично

Осталось проверить условие (17): что делается непосредственной подстановкой.

3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вер­шины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.

Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:

1) Формулой (38),- необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABC и ;

2) Формулой (4а) для точек M, N, P: (из условия задачи);

3) Формулой (11),- коллинеарности точек M, N, P:

Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1) 2) 3).

ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответ­ствует комплексное число . Из равенств и од­нозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплекс­ные числа и :

(1)

Поэтому комплексные числа z и называются сопряженными комплексными координатами этой точки.

Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометри­ческой фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.

Геометрический смысл уравнения

Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные коорди­наты которых удовлетворяют уравнению

(2)

Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему отно­сительно и

второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряжен­ным числам. Уравнивая коэффициенты при , путем вычитания второго уравнения из первого получаем:

Если , т.е. , то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения будет единственное число z=0. При уравнение напишем в виде . Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы , откуда . Этому условию удовлет­воряет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом к действительной оси (рис.1). Так, уравнением

(3)

задается прямая при и точка при .

Пусть теперь . Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умно­жения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Тогда имеем систему:

из которой получаем: . Рассмотрим возможные случаи.

Если , то и подстановкой в исходное уравнение получаем: или .

При его решение единственно:

При решений нет.

Если , то и , т. е. . В этом случае уравнением (2) при прямая. В самом деле, возьмем точку и век­тор точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из ко­торых (MQ) (OB):

(4)

Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).

Таким образом, при и уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Наконец, отметим случай, когда , но . Тогда система

Характеристики

Список файлов курсовой работы