85305 (612484), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l,то

, и поэтому условие (8) принимает вид:

; (9)

3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью век­торов и . Используя (8), получаем:

. (10)

Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде

(11)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а-b) в такое:

(12)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозна­чив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:

, (10а)

. (12a)

В частности, прямая ОА имеет уравнение

Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что

Комплексные числа с аргументами и - являются чисто мнимыми.

Поэтому,

или

(13)

Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а—b и с—d перпендикулярны. В си­лу (13) имеем:

(14)

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то зависимость (14) упрощается:

(15)

Выведем уравнение касательной к единичной окружности =l в ее точке

P(р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то и обратно. На основании (14) имеем:

или

.

Поскольку , то уравнение касательной становится таким:

. (16)

Это частный случай уравнения (12a) при а=b=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.

Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности =l, если точки А, В, С, D лежат на этой окруж­ности и имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d.

Пользуясь уравнением (12а), получаем систему

из которой почленным вычитанием находим:

(17)

В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab=-cd, и поэтому результат (17) приводится к виду

откуда

(18)

В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как , и, значит,

(19)

3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касатель­ных в точках A(а) и B(b) единичной окружности =l. Для искомой координаты z имеем систему

из которой находим:

Поскольку то получаем окончательно:

или (20)

Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.

Теорема Ньютона. В описанном около окружности четырехуголь­нике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.

Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четы­рехугольника A_oB_oC_oD_o через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М и N — середины диагоналей А_oС_o и B_oD_o соответственно. Тогда согласно (20) точки А_o, В_o, С_o, D_o будут иметь соответственно комплексные координаты:

где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D.

Поэтому

Вычисляем Поскольку то непосредственно видно, что На основании (6) точки О, М, N коллинеарны.

Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А₁, B₁, C₁, то середины отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ коллинеарны (рис.5).

Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеар­ности троек точек АВ₁С, СА₁В, ВС₁А, A₁B₁C₁:

(21)

Если М, N, P — середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁, то предстоит показать, что

(22)

Так как то доказываемое равенство (22) эквивалентно такому:

или после перемножения:

(23)

Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением ра­венств (21). Доказательство закончено.

Теорема Паскаля. Точки пересечения прямых, содержащих про­тивоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и (рис.6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус - за единицу длины. Тогда согласно (17) имеем:

Вычисляем

и аналогично

Далее находим:

Поскольку числа равны соответственно , то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N, Р.

Teopeмa Mонжа. Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпенди­кулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам че­тырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B,C, D принадлежат окружности , приходим к выводу, что

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: .

(a) так как

, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентирован­ный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен

с вектором . Если и , то точкам Р и Q соответст­вуют комплексные числа b—а и d—c (рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треуголь­нику АВС дает:

(25)

Если z=r( ,то Отсюда

(26)

Тогда так как

Итак,

(27)

Аналогично находим:

. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

или

(29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

(30)

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду

. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

(32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) при­нимает вид:

(33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окруж­ности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

(34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отно­шения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два воз­можных случая:

1. точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

2. точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+ АDВ= ± , т. е. ВСА- ВСА= ± . В обоих случаях разность равна нулю или ± . Но поскольку согласно (24) эта разность равна

то — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то

Следовательно, либо BCA= BDA, либо ВСА— ВDА=± , т.е. ВСА+ ADB=± . В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ± , и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Характеристики

Список файлов курсовой работы