85232 (612479), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Необходимость:

Пусть . Докажем, что строки

линейно зависимы. Предположим, что строки

линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований переводящее

. Из доказанного в пункте II следует, что

. Получили противоречье

. Докажем, что если

-строка матрицы

линейно зависима,

, но

(числа векторов столбца)

линейно зависима.

Теорема 2

следующие условия равносильны:

1)

2) -линейно зависимы

3) -обратима

4) представима в виде произведения элементарных матриц

Доказательство:

доказано в Теореме 1

§6 Разбиение матриц

Если матрицу

,

матрицу

,

матрицу

и

матрицу

записать в виде

(1)

То они, образуют некоторую матрицу

. В таком случае

могут быть названы блоками матрицы

. И обозначены

соответственно. Представление (1) называется разбиением матрицы

.

Если матричное произведение существует и

,

разбиты на блоки

,

, а разбиение по столбцам матрицы

соответствует разбиению по строкам матрицы

, то можно ожидать, что

имеет блоки

, задаваемые формулой

Таким образом, мы предполагаем, что произведение матриц в терминах блоков, полученных при соответствующих разбиениях сомножителей, формально совпадает с произведением этих матриц в терминах скалярных элементов. Покажем это на примере:

Упражнение1. Пусть

,

,

,

,

Это проверяется прямым вычислением

Теорема (1)

Пусть матрица из

имеет блоки

, где

матрица,

, и

матрица из

с блоками

размера

. Тогда

имеет блоки

Доказательство. Отметим, что каждое произведение существует и является

матрицей. Следовательно,

существует и будет

матрицей. Для фиксированного

каждое

имеет

столбцов и для фиксированного

каждое

имеет

строк, откуда следует, что

блоки некоторой

матрицы

.

Пусть некоторый элемент матрицы

, расположенный в клетке

блока

. Так как

,

есть сумма элементов в клетках

и матриц

,

. Но элемент матрицы

в клетке

является суммой произведений

элементов в строке

матрицы

на элементы столбца

матрицы

. Далее, элементы строки

матрицы

совпадают с некоторыми элементами

строки в

, а именно, с

, где индекс

определяется неравенствами

, если

, если

Элементы столбца матрицы

будут элементами

в

. Следовательно,

Мы определили миноры порядка для

определителя. В общем случае, если из

-матрицы

выбросить все строки, кроме строк

, и все столбцы, кроме столбцов

, то определитель полученной в результате матрицы называется минором матрицы

порядка

, то

Миноры, для которых , называются главными для матрицы

. Если

-

матрица, то

и алгебраическое дополнение

, например, есть

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то иногда важно выразить определитель произведения в терминах свойств сомножителей. Следующая теорема - мощный результат этого рода.

§7 Теорема (формула Бине-Коши)

Теорема (формула Бине-Коши)

Пусть ,

-

и

-матрицы соответственно,

и

Тогда

Другими словами, при определитель матрицы

является суммой произведений всевозможных миноров порядка

в

на соответствующие миноры матрицы

того же самого порядка.

Упражнение1. Покажем на примере

Пусть ,

,

и

, тогда по формуле Коши-Бине:

Доказательство теоремы:

Так как , то можно записать

Определитель-это аддитивная и однородная функция каждого из своих столбцов. Используя этот факт для каждого из столбцов в

, выражаем

в виде суммы

определителей:

Те члены в суммировании, которые имеют совпадающие два или более индексов , равны нулю, так как в этих случаях миноры будут иметь по крайней мере два совпадающих столбца. Таким образом, нужно рассматривать лишь те

членов суммирования, в которых индексы

различны. Мы распределяем эти остающиеся члены на

групп по

членов в каждой таким образом, чтобы в каждой группе члены отличаются лишь порядком индексов

. Отметим также, что можно написать

, где

. Следовательно, сумма по

членам, в которых

-перестановка чисел

, задается выражением:

Переставляя элементы так, чтобы первые индексы в возрастающем порядке, приводим это выражение к виду:

где -перестановка

чисел

, как очевидно

. Из определителя функции определителя теперь следует, что это выражение есть просто:

Следствие. Определитель произведения двух кратных матриц равен произведению определителй множителей.

Это следует из Теоремы при

Заключение

В данной работе рассмотрена основная теория матриц и доказательство теоремы Коши-Бине. Также представлено применение данной теоремы при нахождении определителя произведения двух прямоугольных матриц в программе написанной на языке программирования Дельфи с возможностью ввода матриц вручную и подгрузкой из файла.

Данная теорема Коши-Бине:

Пусть ,

-

и

-матрицы соответственно,

и

Тогда

На примере можно рассмотреть работу программы реализующей алгоритм нахождения определителя прямоугольных матриц на основе формулы Коши-Бине.

Будем искать миноры 2 порядка:

1)

Пусть A m = 2 n = 3

1 0 2

-1 1 1

B m = 3 n = 2

-1 -1

-2 0

1 1

получаем матрицу C m = 2 n = 2

1 1

0 2

Итого: Det C = 2

2)

Переборы:

1A) 1 2

1 0

-1 1

DetA = 1

1B) 1 2

-1 -1

-2 0

DetB = -2

2A) 1 3

1 2

-1 1

DetA = 3

2B) 1 3

-1 -1

1 1

DetB = 0

3A) 2 3

0 2

1 1

DetA = -2

3B) 2 3

-2 0

1 1

DetB = -2

C = (1)*(-2) + (3)*(0) + (-2)*(-2)

Итого по формуле Коши - Бине: 2

Данная программа наглядно показывает нахождение миноров порядка m, где m-это количество строк в матрице .

Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1988. с. 13-32.

2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- М.:Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1984.-с.216.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – 14 - е изд. - Спб.: Лань, 2005. -с.322

4. Ланкастер П. Теория матриц– М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1973, с.17-44

5. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. – М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет. , 1972, с.232

6. Большакова И.В. Высшая математика - Учебное издание, 2003, с.5-10

Приложение

Внешний вид программы:

Исходный код:

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Menus, Math, cdet;

Const

MaxN = 10; //Максимальное число столбцов в массиве

MaxM = 10; //Максимальное число строк в массиве

DefValueMas = 3; //Значение по умолчанию (размерность)

type

TVS_MAssPerebor = Array of Real; //Массив переборов

TVS_Mass = array of array of Real; //Описали 2х мерный динамический массив

TVS_MassData = Record //Создаем запись - массив, в котором:

Mass : TVS_Mass ; //Массив

M, //Строки массива

N : Integer; //Столцы массива

Name : Char; //Название матрицы для вывода информации (A, B, C)

end; {TVS_MassData = Record}

TMainForm = class(TForm)

MainMenu1: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

NMultiplication: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

InputMassB: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

nDetA: TMenuItem;

NDetB: TMenuItem;

ResultMemo: TMemo;

N5: TMenuItem;

DetC: TMenuItem;

nmbn1: TMenuItem;

N6: TMenuItem;

N7: TMenuItem;

N8: TMenuItem;

N9: TMenuItem;

N10: TMenuItem;

OpenDialog: TOpenDialog;

procedure InputMassAClick(Sender: TObject);

procedure NMultiplicationClick(Sender: TObject);

procedure VS_MultiplicMass (Var inMassA, InMassB, MassOut : TVS_MassData);

procedure InputMassBClick(Sender: TObject);

procedure VS_InputMass(Var InMass : TVS_MassData);

procedure VS_ShowMass (inCaption : String; inMass: TVS_MassData);

procedure FormShow(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

procedure nDetAClick(Sender: TObject);

function VS_Det(InMass : TVS_MassData): Real;

procedure NDetBClick(Sender: TObject);

procedure VS_ShowMassToMemo(Caption : String; InMass : TVS_MassData; ShowRazm : Boolean = True);

procedure N5Click(Sender: TObject);

procedure DetCClick(Sender: TObject);

Procedure AssignMass(InMAss : TVS_MassData; Var OutMass : TVS_MassData);

Procedure VS_VerMass(Var Massin1, MAssIn2: TVS_MassData);

Procedure VS_LoadData(Var InMAss : TVS_MassData);

Procedure VS_GetRazmOnFile(FileName : String; Var Col, Row : Integer);

Function VS_GetColOnFile(InStr: String): Integer;

Характеристики

Список файлов курсовой работы