85232 (612479), страница 2

Файл №612479 85232 (Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине) 2 страница85232 (612479) страница 22016-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

в) обратима т.е

2) Докажем второе утверждение, что группа. Для этого проверим аксиомы групп:

1)

2)

3)

группа

Следствие:

Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица

Если обратима, то

обратима

§2 Элементарные матрицы

Пусть поле скаляров

Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы в результате одного из следующих элементарных преобразований:

Умножение строки (столбца) на скаляр

Прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженный на скаляр

Обозначение: -элементарная матрица, полученная умножением на

-строки (столбца) матрицы

-строка

-элементарная матрица, полученная прибавлением к

-строке (столбцу) матрицы

-строки (столбца), умноженной на

-строка

Пример: Элементарные матрицы порядка 2

,

,

,

,

Обозначение: -элементарная матрица, полученная из единичной матрицы

с помощью элементарного преобразования

Глава IV

§1 Определители

Определитель матрицы обозначается

. Другими словами определитель матрицы

-это сумма произведений из множества

умноженная на знак, соответствующей подстановки.

Пример

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали вычесть произведение элементов на побоичной.

Для

Получили правило треугольника:

§2 Простейшие свойства определителей

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали

-это треугольная матрица если элементы под главной диагональю равны нулю.

Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Матрица диагональная если все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

§3 Основные свойства определителей

поле скаляров,

1)

Доказательство:

, обозначим

. Если

«пробегает» все множество

, то

тоже «пробегает» все

т.е.

При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель изменит знак.

Доказательство:

I) Перестановка столбцов:

Пусть - это матрица, полученная из

перестановкой двух столбцов с номерами

, где

. Рассмотрим транспозицию:

, транспозиция является нечетной подстановкой

,

,

В доказательстве будем использовать равенство:

Если пробегает все множество значений

, то

тоже пробегает все значения и

II) Перестановка строк

Пусть получена из

перестановкой двух строк, тогда

получена из

перестановкой двух столбцов, тогда

III) Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равных нулю

Доказательство:

Проведем для такого поля , где

Замечание

Доказательство для случая найди в учебнике Куликовой Алгебра и теория чисел

Пусть в есть две одинаковые строки с номерами

и

, где

, поменяем местами строки

и

, получим матрицу

(по св.2)

и

, тогда

Если у два одинаковых столбца, то у транспонированной матрицы

две одинаковые строки

IV) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на

, то определитель умножиться на

Доказательство:

Пусть получена из

умножением на

строки

так как

, то

Аналогичное доказательство для столбцов

V) Определитель матрицы у которой две строки (столбца) пропорциональны равны нулю

Доказательство:

Пусть в матрице ,

строки

пропорциональны т.е

-строка равна произведению

на

-строку. Пусть

Для столбцов:

Пусть получена из

,

. Столбцы

и

пропорциональны и

VI) Если каждый элемент -строки(столбца) квадратной матрицы

есть сумма двух элементов, то определитель

равен сумме двух определителей. В матрице первого определителя в

- строке (столбце), записаны первые слагаемые, а в матрице второго определителя вторые слагаемые. Остальные элементы матриц этих определителей такие же как у матрицы

Доказательство:

VII) Ели к какой либо строке (столбцу) матрице определителя прибавить другую строку (столбец), умноженный на , то определитель неизменится.

Доказательство:

Для столбцов анологично.

VIII) Если какая либо строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов)

, то определитель

Доказательство:

Если какая то строка линейная комбинация других строк, то к ней можно прибавить другие строки, умноженные на скаляры так, чтобы получилась нулевая строка. Определитель такой матрицы равен нулю.

Пример:

(сначала умножаем первую строку на -2 и складываем со второй, затем на -3 и складываем с третей). Такое правило приведения к треугольному виду используется для определителей

- порядка:

так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то часто бывает важно иметь возможность выразить определитель произведения в терминах свойств множителей. Следующая теорема –мощный показатель этого.

§4 Миноры и алгебраические дополнения.

Теоремы об определителях.

поле скаляров,

Опр. Минор элемента

определителя

порядка

- определитель порядка

, полученный из

вычеркиванием

-строки и

-столбца.

Главные миноры определителя

Для главные миноры есть определители

,

, …,

,

Пример:

Рассмотрим матрицу и вычислим ее миноры

:

,

,

Определение. Алгебраическим дополнением элемента обозначается

называется число

Пример: Вычислим ,

,

Лемма 1

и

.

Доказательство:

(в сумме только те слагаемые ненулевые, где

)

Тогда подстановка имеет вид: , где

. К подстановке

поставим в соответствие

т.е

, такое соответствие называется взаимооднозначным отображением множества подстановок

на множество подстановок

,

. Очевидно, что

и

имеют одинаковые инверсии, значит

имеют одинаковую четность и знаки

Лемма 2

Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы

равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение

Доказательство:

Пусть все элементы -строки матрицы

за исключением элемента

,

перестановкой строк и столбцов

переместили элемент

в правый нижний угол

, значит

строк и

-столбцов. Знак будет меняться

раз, после этого получиться матрица у которой все элементы последней строки кроме может быть

равны нулю. По Лемме 1

, т к

Теорема Лагранжа

равна сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы

на их алгебраическое дополнение. Другими словами: разложение по

-столбцу матрицы

имеет вид:

, а разложение по

-строке матрицы

:

Доказательство:

рассмотрим -столбец матрицы

и запишем в виде:

, по 6 свойству определителей:

, аналогично доказывается формула разложение по

-строке матрицы

.

Теорема 2

Справедливы равенства:

Рассмотрим матрицу , которая получена из матрицы

следующим образом: все столбцы матрицы

, кроме

-го такие же как и у матрицы

.

-тый столбец матрицы

совпадает с

-столбцом

, тогда у

два одинаковых столбца, поэтому определитель матрицы

равен нулю, разложим определитель матрицы

по

-тому столбцу.

,

, тогда

. Формула (2) показывается аналогично.

Следствие:

§5 Определитель произведение матриц

поле скаляров,

,

Лемма 1

Пусть элементарная матрица порядка

, тогда справедливо равенство:

1) ., т.е

получена из матрицы

, умножением

-строки на скаляр

. Определитель матрицы

.

Матрица получена из

умножением

-строки на скаляр

, поэтому определитель

2)

Матрица, полученная из прибавлением к

-строке

Лемма 2

-элементарные матрицы

1) , доказательство следует из Леммы 1

2) , доказательство из утверждения (1) при условии

Теорема 1

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей т.е.

Доказательство:

Пусть строки матрицы линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований

, тогда по Лемме 2 следует, что

. Из того, что (

) имеем:

, тогда

2) Строки линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований, которая переводит

в ступенчатую матрицу

, у которой есть нулевая строка т.е.

,

. Тогда

Из того, что

, в произведении

, тоже есть нулевая строка, потому

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю

поле скаляров,

,-матрица над полем

Теорема 1

строки (столбцы) матрицы

линейно зависимы

Достаточность:

Если строки (столбцы) матрицы линейно зависимы, то какая-то строка является линейной комбинацией других строк (по 8 свойсву определителей)

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
3,9 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов курсовой работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее