5194-1 (612435), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .

Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть . (7)

Если , то является устойчивым предельным циклом; если , то — неустойчивый предельный цикл.

Характер приближения соседних траекторий к при следующий: они приближаются к , образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.

2.6. Устойчивость по первому приближению.

Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где . После замены получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде

, (8)

где при . (9)

Теорема 5. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (8) асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по . Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы были неположительны.

Рассмотрим теперь автономное уравнение (1): , (10)

где функция непрерывно дифференцируема при , причем . Тогда является положением равновесия уравнения (10). После замены уравнение (10) принимает вид , где , функция непрерывно дифференцируема при и

при . (11)

Из (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 7. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений Координаты положений равновесия определяются из уравнений . Положения равновесия:

Соответствующие матрицы имеют вид

, или .

Собственные числа определяются уравнением . При k четном , при k нечетном . По теореме 7 при k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.

Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение периодичны по t с одним и тем же периодом . Тогда в уравнении (8) , . Далее, так как равномерно непрерывна на компакте , то в силу периодичности выполняется равномерно по . Поскольку — периодическая матрица, то существует замена переменных , (12)

где — периодическая с периодом  функция класса , причем , переводящая уравнение в с постоянной матрицей коэффициентов , определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение

, (13)

причем функция определена и непрерывна в области вида . Условие (9) также выполняется. Действительно, в силу (9), ограниченности и и поскольку эквивалентно . При этом, как отмечалось, имеет место равномерность по t.

Согласно лемме из п. 2.1. вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (8) эквивалентен вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (13). Так как , где — собственные числа матрицы , а — мультипликаторы линейного уравнения , называемые также мультипликаторами периодического решения , то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема:

Теорема 8. Если модули всех мультипликаторов периодического решения периодического уравнения (1) меньше единицы, то это решение асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторов больше единицы, то оно неустойчиво.

Рассмотрим смешанный случай, когда исследуется устойчивость -периодического решения автономного уравнения (10). Дифференцируя тождество , получаем . Следовательно, функция является -периодическим решением уравнения в вариациях . По следствию 1 п. 1.5. один из мультипликаторов равен единице. Если среди остальных мультипликаторов имеются такие, модули которых больше единицы, то решение неустойчиво по теореме 8. В противном случае теорема 8 неприменима.

Теорема 9. (Андронова-Витта) Если мультипликаторов периодического решения уравнения (10) имеют модули, меньшие единицы, то это решение устойчиво по Ляпунову.

Замечание. Уравнение (10) автономно, поэтому наряду с решением имеются и решения , , следовательно, решение не может быть асимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость.

Рассмотрим уравнение (10), в котором . Обозначим через траекторию, проходящую через точку при . Предположим, что нулевое решение (10) асимптотически устойчиво, причем существуют число и функция , при такие, что при . В этом случае существуют положительные числа такие, что при справедливо неравенство

. (14)

Если имеет место оценка (14), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы 5 нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 5, ограничениях на нелинейность . Достаточно, чтобы левая часть (9) удовлетворяла неравенству , где — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономного уравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первое утверждение.

Для неавтономной системы по формуле (14) вводится аналогичное понятие экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическая устойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная система была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы и , обладающие следующими свойствами:

1. вещественная, симметричная и ограниченная;

2. вещественная, симметричная и ограниченная;

3. ;

4. (см. п. 3.1).

3. Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

где . Предположим, что G — область единственности и при всех , т. е. уравнение (1) имеет тривиальное решение . Рассмотрим вопрос об устойчивости этого решения.

Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции как функции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости и асимптотической устойчивости, где .

Под функцией Ляпунова будем понимать любую непрерывную функцию такую, что при всех . На множестве функций Ляпунова задан линейный оператор D, определяемый формулой

. (2)

называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

, (3)

где — решение уравнения (1) с начальными данными .

Определение. Функция Ляпунова , не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при . Функция Ляпунова называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция такая, что . Функция Ляпунова называется определенно-отрицательной, если — определенно-положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова называется положительной, если в области G и отрицательной, если в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательных функций: если , то . (4)

Импликация в (4) вытекает непосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию , рассмотрим произвольную последовательность , , для которой при . Покажем, что при . Предположим, что это неверно. Тогда найдется подпоследовательность и положительное число такие, что . Согласно определению , где — определенно-положительная функция. Положим . Множество компактно, поэтому по теореме анализа , где , следовательно, . Тогда , что противоречит свойству последовательности .

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть  — произвольная положительная постоянная, . Положим при . Так как V определенно-положительная, то . По l найдем такое, чтобы . Рассмотрим решение при . Покажем, что

Характеристики

Список файлов курсовой работы