5194-1 (612435), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином , где , , называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином является полиномом Гурвица, то все .

Составим -матрицу Гурвица вида

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица :

Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть , где , , . Кривая , называется годографом Михайлова функции .

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора при равен , где — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора при был бы равен .

Замечание. Если полином есть полином Гурвица степени , то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. , (4)

где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где — неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда постоянна. Учитывая, что , где — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка.

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть , где . Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения или . Его корни можно найти по формуле

.

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1) вещественны, различны и ( ). Параметрические уравнения траекторий: . Положение равновесия называется узел. Если корни положительны ( ), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если отрицательны ( ), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

2) вещественны и ( ). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

3) комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые ( ). Решение в полярных координатах запишется в виде , где . Если ( ), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если ( ), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

4) ( ). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

5) . Если , то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если , положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

6) Один из корней равен нулю (например ). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если , то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда . Особая точка неустойчива.

Пример. Рассмотрим систему . Положение равновесия находится из уравнения , или , откуда . Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

.

Найдем координаты преобразования , приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду . Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

откуда с учетом ,  — произвольное, ,  — произвольное. Получаем преобразование . Определим новое положение осей:

Решение системы запишется в виде , а исходной системы отсюда . Схематическое изображение траекторий:

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней на плоскости возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены ,

светлым — начало координат.

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

, (5)

где — область.

Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию с наименьшим периодом . Возьмем произвольную точку и проведем через нее нормаль к единичной длины. Для определенности считаем, что направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой ). Точки на нормали определяются единственной координатой . В качестве берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи , и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри .

Рассмотрим траектории , проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

(6)

с неизвестными t, s ( — параметр).

Лемма 3. Существует такое, что в области уравнение (6) имеет единственное решение , удовлетворяющее условиям , причем функции непрерывно дифференцируемы при .

Доказательство. Так как — решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция определена и непрерывно дифференцируема по t и  в некоторой окрестности точки . Тогда функция определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Так как ‑периодична, то . Рассмотрим якобиан в точке . Имеем . Следовательно, в точке , поскольку и — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

.

Выясним геометрический смысл функций . Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль в точке из -окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени в точке . При этом так как функция также делает полный оборот вдоль при , то траектория также делает полный оборот при , оставаясь в малой окрестности , если  достаточно мало.

Функция называется функцией последования.

Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .

Характеристики

Список файлов курсовой работы