62188 (611445), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Для ОFDМ

,

где - число подканалов.

тогда ,

После определения числа позиций сигнала М рассчитаем вероятности ошибки

Вероятность ошибки при АМ-М:

,

Вероятность ошибки при ФМ-М:

Вероятность ошибки при ОФМ-М:

Вероятность ошибки при КАМ-М:

где η – число уровней амплитуды;

α = η+1;

M = 2^k, k – четное число.

Вероятность ошибки при ОFDМ:

где η – число уровней амплитуды;

α = η+1;

M = 2^k, k – четное число.

Выбор метода модуляции осуществляется в соответствии с критерием минимума вероятности ошибки.

1.4 Выбор вида помехоустойчивого кода и определение длины кодовой комбинации

Помехоустойчивое, или избыточное, кодирование применяется для обнаружения и(или) исправления ошибок, возникающих при передаче по дискретному каналу. Отличительное свойство помехоустойчивого кодирования состоит в том, что избыточность источника, образованного выходом кодера, больше, чем избыточность источника на входе кодера. Помехоустойчивое кодирование используется в различных системах связи, при хранении и передаче данных в сетях ЭВМ, в бытовой и профессиональной аудио- и видеотехнике, основанной на цифровой записи.

Если экономное кодирование сокращает избыточность источника сообщений, то помехоустойчивое кодирование, напротив, состоит в целенаправленном введении избыточности для того, чтобы появилась возможность обнаруживать и(или) исправлять ошибки, возникающие при передаче по каналу связи.

Чтобы посчитать вероятность ошибки кодовой комбинации найдем параметры кода. К ним относятся:

n=m+k – длина кодовой комбинации;

m – число информационных символов(разрядов);

k – число проверочных символов (разрядов);

Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет минимальное кодовое расстояние d_min, определяемое при попарном сравнении всех кодовых комбинаций, которое называют расстоянием Хемминга.

В безизбыточном коде все комбинации являются разрешёнными, и, следовательно, его минимальное кодовое расстояние равно единице - d_min = 1. Поэтому достаточно исказиться одному символу, чтобы вместо переданной комбинации была принята другая разрешённая комбинация. Чтобы код обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую избыточность, которая обеспечивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешёнными комбинациями не менее двух - d_min > 2.

Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов, указывающей на гарантируемое число обнаруживаемых или исправляемых заданным кодом ошибок.

При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых единица переходит в нуль (1 → 0) или нуль переходит в единицу (0 → 1). Переход 1 → 0 или 0 → 1 только в одном элементе кодовой комбинации называют единичной ошибкой (единичным искажением). В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число позиций кодовой комбинации, на которых под действием помехи одни символы оказались заменёнными на другие. Возможны двукратные (t = 2) и многократные (t > 2) искажения элементов в кодовой комбинации в пределах 0 < t < n.

Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характеризующим корректирующие способности данного кода. Если код используется только для обнаружения ошибок кратностью t₀, то необходимо и достаточно, чтобы минимальное кодовое расстояние было равно

d_min > t₀ + 1.(1.29)

В этом случае никакая комбинация из t₀ ошибок не может перевести одну разрешённую кодовую комбинацию в другую разрешённую. Таким образом, условие обнаружения всех ошибок кратностью t₀ можно записать в виде:

t₀ ≤ d_min - 1.(1.30)

Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью t_и и менее, необходимо иметь минимальное расстояние, удовлетворяющее условию:

.(1.31)

В этом случае любая кодовая комбинация с числом ошибок t_и отличается от каждой разрешённой комбинации не менее чем в t_и + 1 позициях. Если условие (1.31) не выполнено, возможен случай, когда ошибки кратности t исказят переданную комбинацию так, что она станет ближе к одной из разрешённых комбинаций, чем к переданной или даже перейдёт в другую разрешённую комбинацию. В соответствии с этим, условие исправления всех ошибок кратностью не более t_и можно записать в виде:

t_и ≤ (d_min - 1) / 2 .(1.32)

Из (1.29) и (1.31) следует, что если код исправляет все ошибки кратностью t_и, то число ошибок, которые он может обнаружить, равно t₀ = 2∙t_и. Следует отметить, что соотношения (1.29) и (1.31) устанавливают лишь гарантированное минимальное число обнаруживаемых или исправляемых ошибок при заданном d_min и не ограничивают возможность обнаружения ошибок большей кратности. Например, простейший код с проверкой на чётность с d_min = 2 позволяет обнаруживать не только одиночные ошибки, но и любое нечётное число ошибок в пределах t₀ < n.

Длина кодовой комбинации n должна быть выбрана таким образом, чтобы обеспечить наибольшую пропускную способность канала связи. При использовании корректирующего кода кодовая комбинация содержит n разрядов, из которых m разрядов являются информационными, а k разрядов – проверочными.

Избыточностью корректирующего кода называют величину

,(1.33)

откуда следует

.(1.34)

Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации составляют информационные символы. В теории кодирования величину B_m называют относительной скоростью кода. Если производительность источника информации равна H_t символов в секунду, то скорость передачи после кодирования этой информации окажется равной

,(1.35)

поскольку в закодированной последовательности из каждых n символов только m символов являются информационными.

Если в системе связи используются двоичные сигналы (сигналы типа "1" и "0") и каждый единичный элемент несет не более одного бита информации, то между скоростью передачи информации и скоростью модуляции существует соотношение

,(1.36)

где V - скорость передачи информации, бит/с; B - скорость модуляции, Бод.

Очевидно, что чем меньше k, тем больше отношение m/n приближается к 1, тем меньше отличается V от B, т.е. тем выше пропускная способность системы связи.

Извеcтно также, что для циклических кодов с минимальным кодовым расстоянием d_min = 3 справедливо соотношение

k log₂(n+1).(1.37)

Видно, что чем больше n , тем ближе отношение m/n к 1. Так, например, при n = 7, k = 3, m = 4, m/n=0,571; при n = 255, k = 8, m = 247, m/n = 0,964; при n = 1023, k = 10, m = 1013, m/n = 0,990.

Приведенное утверждение справедливо и для больших d_min, хотя точных соотношений для связей между m и n нет. Существуют только верхние и нижние оценки, которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным расстоянием корректирующего кода и его избыточностью.

Так, граница Плоткина даёт верхнюю границу кодового расстояния d_min при заданном числе разрядов n в кодовой комбинации и числе информационных разрядов m, и для двоичных кодов:

(1.38)

или

при .(1.39)

Верхняя граница Хемминга устанавливает максимально возможное число разрешённых кодовых комбинаций (2^m) любого помехоустойчивого кода при заданных значениях n и d_min:

,(1.40)

где - число сочетаний из n элементов по i элементам.

Отсюда можно получить выражение для оценки числа проверочных символов:

.(1.41)

Для значений (d_min/n) ≤ 0,3 разница между границей Хемминга и границей Плоткина сравнительно невелика.

Граница Варшамова-Гильберта для больших значений n определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов, необходимого для обеспечения заданного кодового расстояния:

.(1.42)

Все приведенные выше оценки дают представление о верхней границе числа d_min при фиксированных значениях n и m или оценку снизу числа проверочных символов k при заданных m и d_min.

Из изложенного можно сделать вывод, что с точки зрения внесения постоянной избыточности в кодовую комбинацию выгодно выбирать длинные кодовые комбинации, так как с увеличением n относительная пропускная способность

R = V/B = m/n(1.43)

увеличивается, стремясь к пределу, равному 1.

В реальных каналах связи действуют помехи, приводящие к появлению ошибок в кодовых комбинациях. При обнаружении ошибки декодирующим устройством в системах с РОС производится переспрос группы кодовых комбинаций. Во время переспроса полезная информация не передается, поэтому скорость передачи информации уменьшается.

Можно показать, что в этом случае

,(1.44)

где P_oo - вероятность обнаружения ошибки декодером (вероятность переспроса):

;(1.45)

Р_пп - вероятность правильного приема (безошибочного приема) кодовой комбинации ;

М - емкость накопителя передатчика в числе кодовых комбинаций

,(1.46)

где t_p - время распространения сигнала по каналу связи, с;

t_к – время передачи кодовой комбинации из n разрядов, с.

Знак означает, что при расчете М следует брать большее ближайшее целое значение.

Время распространения сигнала по каналу связи и время передачи кодовой комбинации рассчитываются в соответствии с выражениями

t_p = (L/с);

t_к = (n/B),

где L - расстояние между оконечными станциями, км;

с - скорость распространения сигнала по каналу связи, км / с (с = 3х10⁵);

В - скорость модуляции, Бод.

При наличии ошибок в канале связи величина R является функцией Р₀, n, k, В, L, с. Следовательно, существует оптимальное n (при заданных Р₀, В, L, с), при котором относительная пропускная способность будет максимальной.

Для вычисления оптимальных величин n, k, m удобнее всего воспользоваться программным пакетом математического моделирования, таким как MathLab или MathCAD, построив в нем график зависимости R(n). Оптимальное значение будет в том случае, когда R(n) – максимально. При определении величин n, k, m необходимо также обеспечить выполнение условия:

,(1.47)

где - эквивалентная вероятность ошибки приема единичного разряда при применении помехоустойчивого кодирования с РОС.

Величину можно определить воспользовавшись соотношением, что при передаче без применения помехоустойчивого кодирования вероятность ошибочной регистрации кодовой комбинации Р_0кк длины n равна

.(1.48)

Характеристики

Список файлов курсовой работы