Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное агентство по образованию РФ

Тульский государственный университет

Кафедра АОТ и ОС

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу информатика

"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Тула, 2007

Содержание

Введение

Метод средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод Ньютона-Котеса

Метод Чебышева

Блок-схема основной программы

Блок-схема процедуры: метод трапеций

Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры: метод Чебышева

Текст программы

Список используемой литературы

Введение

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:

(1)

от непрерывной на отрезке [a, b] функции .

Численные методы интегрирования применяются в случаях, когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.

Пример: Приближенное неравенство

(2)

где q_j – некоторые числа, x_j – некоторые точки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой, определяемой весами q_j и узлами x_j.

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство (2) становится точным.

Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.

Метод средних прямоугольников

Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.

Обозначим , где

n – количество шагов.

Формула левых прямоугольников:

Формула правых прямоугольников:

Более точной является формула средних прямоугольников:

Метод трапеций

Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:

или

Нетрудно убедиться, что

Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие

<

где – значения интеграла на шаге, а – точность вычислений.

Метод Ньютона-Котеса

Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

.

Тогда

;

(1)

Так как dx=hdq, то

Так как , то

Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:

(2)

Величины H_i называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).

Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.

Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса

Интересно отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1

;

формула Симпсона при n=2

;

правило трех восьмых при n=3

.

Формулу (2) при n>6 не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и вычислительная погрешность резко возрастает.

Метод Чебышева

П.Л. Чебышев предложил формулу:

,

в которой коэффициенты c_i фиксированы, а х_i подлежат определению.

Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.

Таблица 2. Значения узлов квадратурной формулы Чебышева

Для любых пределов интегрирования имеем:

где ,

Значения x_i берутся из таблицы при выбранном значении n. Для повышения точности можно не только увеличивать количество узлов, но и разбивать отрезок [a, b] на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующая формула. Не рекомендуется применять формулы с большим количеством узлов (n>=8).Доказано, что для n=8 построить квадратурную формулу Чебышева невозможно.

Блок-схема основной программы

Блок-схема процедуры: метод трапеций

Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры: метод Чебышева

Текст программы

program Curs;

uses crt, graph;

var i, n:integer;

t:byte;

a, b, eps, h:real;

x, sum1, sum2, seps, m0, m1, m2, m3, m4:real;

lf:text;

st:string;

function f (x:real):real;

begin

f:=19.44*exp (0.224*x);

end;

procedure gr (xn, xk:real);

var x, y, mx, my, dx, dy,

ymin, ymax, xh:real;

xb, yb, xm, ym, xl, yv, xp, yn, bord1, bord2, bord3, bord4, xt, yt, xt1, yt1, dxp, dyp, nd, nr, i, kx, ky, k:integer;

st:string;

begin

k:=100;

xh:=(xk-xn)/100;

ymax:=f(xn);

dx:=(xk-xn)/100;

for i:=1 to 100 do

begin x:=xn+dx*i;

y:=f(x);

if y>ymax then ymax:=y;

end;

ymin:=0;

ymax:=round(ymax);

nd:=detect;

initgraph (nd, nr, 'c:\tp7\bgi');

bord1:=60; kx:=6;

bord2:=30; ky:=8;

bord3:=30;

bord4:=80;

xb:=0; yb:=0; xm:=getmaxx; ym:=getmaxy;

xl:=xb+bord1;

xp:=xm-bord2;

yv:=yb+bord3;

yn:=ym-bord4;

dxp:=(xp-xl) div kx;

dyp:=(yn-yv) div ky;

dx:=(xk-xn)/kx;

dy:=(ymax-ymin)/ky;

xl:=xp-dxp*kx;

yn:=yv+dyp*ky;

mx:=(xp-xl)/(xk-xn);

my:=(yn-yv)/(ymax-ymin);

setfillstyle (1,15);

bar (xb, yb, xm, ym);

setcolor(0);

setlinestyle (0,0,1);

bar (xl, yv, xp, yn);

rectangle (xl, yv, xp, yn);

settextjustify (0,2);

settextstyle (2,1,4);

setcolor(9);

for i:=0 to kx do begin

xt:=xl+dxp*i;

str (xn+dx*i:6:3, st);

line (xt, yn‑3, xt, yn+3);

outtextxy (xt+4, yn+8, st);

end;

settextstyle (0,0,1);

for i:=0 to ky do begin

yt:=yv+dyp*i;

str (ymax-dy*i:6:3, st);

line (xl‑3, yt, xl+3, yt);

outtextxy (xl‑56, yt‑4, st);

end;

outtextxy (xl+100, bord3 div 2,'y=19.44*exp (0.224*x)');

setcolor(12);

if xn*xk<0 then begin

xt:=xl-trunc (xn*mx);

line (xt, yv, xt, yn);

end;

if ymax*ymin<0 then begin

yt:=yv+trunc (ymax*my);

line (xl, yt, xp, yt);

end;

xh:=(xk-xn)/5;

for i:=0 to 5 do begin

setcolor(3);

x:=xn+xh*i;

y:=f(x);

xt:=xl+trunc((x-xn)*mx);

yt:=yv+trunc((ymax-y)*my);

circle (xt, yt, 3);

if i>0 then

line (xt, yt, xt1, yt1);

setcolor(5);

rectangle (xt1, yt1, xt, yn);

xt1:=xt;

yt1:=yt;

end;

repeat until keypressed;

closegraph;

end;

function pr:real;

var s, x:real;

begin

s:=0;

x:=a;

for i:=1 to n do

begin

s:=s+abs (f(x))*h;

x:=x+h;

end;

pr:=s;

end;

function tr:real;

var s, x:real;

begin

s:=0;

x:=a;

for i:=1 to n do

begin

s:=s+(f(x)+f (x+h))/2*h;

x:=x+h;

end;

tr:=s;

end;

function ch:real;

var s, dp, kf, a1, b1:real;

begin

s:=0;

kf:=sqrt (1/3);

for i:=2 to n+1 do

begin

a1:=a+h*(i‑2);

b1:=a1+h;

s:=s+((b1‑a1)/2)*(f((a1+b1)/2‑kf*((b1‑a1)/2))+f((a1+b1)/2+kf*((b1‑a1)/2)));

end;

ch:=s;

end;

function si:real;

var s, x, f1, f2:real;

begin

s:=0;

x:=a;

i:=1;

f1:=0;

repeat

f1:=f1+f (a+h*i);

i:=i+2;

until i>=n;

i:=2;

f2:=0;

repeat

f2:=f2+f (a+h*i);

i:=i+2;

until i>=n;

s:=h/3*(f(a)+f (b-h)+(4*f1)+(2*f2));

si:=s;

end;

begin

assign (lf, 'otchet.txt');

rewrite(lf);

clrscr;

write ('Введите значение левого предела интегрирования: '); readln(a);

write ('Введите значение правого предела интегрирования: '); readln(b);

write ('Введите значение погрешности: '); readln(eps);

write ('Введите начальное значение количества разбиений: '); readln(n);

writeln;

gr (a, b);

write ('Ждите, идет обработка данных ');

m0:=0;

writeln (lf, ' КУРСОВАЯ РАБОТА');

writeln (lf, ' ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА');

writeln (lf, ' «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ');

writeln (lf, ' ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» ');

writeln (lf, ' Выполнил: студент гр. ');

writeln (lf, ' Вариант 22 y=19.44*exp (0.224*x)');

writeln (lf, ' Xn=', a:5:3,' Xk=', b:5:3,' Eps=', eps:5:3);

writeln(lf);

writeln (lf, ' РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ');

repeat

h:=abs (b-a)/n;

m1:=pr;

m2:=tr;

m3:=si;

m4:=ch;

seps:=abs (m1‑m0);

writeln (lf, ' │', n:7,' │', m1:11:8,'│', m2:11:8,'│', m3:11:8,'│', m4:11:8,'│', seps:11:8,'│');

m0:=m1;

n:=n+200;

until (seps<=eps);

clrscr;

reset(lf);

while not eof(lf) do

begin

readln (lf, st);

writeln(st);

end;

{write ('Нажмите для выхода из программы');

repeat until keypressed;}

close(lf);

end.

Список используемой литературы

1. Бахвалов Н.С. «Численные методы». М.: Наука, 1987 – 598 с.

2. Калиткин Н.Н. «Численные методы». М.: Наука, 1988 – 512 с.

3. Крылов В.И. «Вычислительные методы». М.: Наука, 1977 – 408 с.

4. Нечаев В.И., Нечаева О.А., Почуева Л.Н. «Численные методы». Тула, 1999.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы