150435 (598869), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если при повторении измерений в одних и тех же условиях 3 – 4 раза получено одно и то же значение, то это означает, что измерения не обнаруживают случайных изменений, а погрешность обусловлена только систематической погрешностью. Систематическая погрешность в данном случае определяется погрешностями измерительных приборов и часто называется инструментальной или приборной погрешностью. Есть несколько способов задания этой погрешности:

а) Для некоторых приборов инструментальная погрешность дается в виде абсолютной погрешности. Например, для штангенциркуля, в зависимости от конструкции его нониуса,– 0,1 мм или 0,05 мм, для микрометра – 0,01 мм.

б) Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности _п (класса точности).

Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности х к предельному значению х_пр измеряемой величины (т.е. к наибольшему её значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность обычно дается в процентах:

. (3)

По величине приведенной погрешности приборы разделяют на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.

Зная класс прибора, можно рассчитать его абсолютную погрешность. Например, вольтметр имеет шкалу делений в пределах от 0 до 300 В (х_пр=300 В) и класс точности 0,5. Тогда

.

в) В некоторых случаях используется смешанный способ задания инструментальной погрешности. Например, весы технические (Т–200) имеют класс точности 2. В то же время указывается, что при нагрузке до 20 г абсолютная погрешность равна 5 мг, до 100 г – 50 мг, до 200 г – 100 мг. Набор школьных гирь относится 4-му классу точности, а допустимые погрешности масс гирь указаны в таблице 1.

Таблица 1

Если, например, при взвешивании на таких весах с таким набором гирь получено значение массы тела 170 г (100 г + 50 г + 20 г), то абсолютная погрешность взвешивания равна: х = 40 + 30 + 20 + 100 = 200 (мг)=0,2(г).

г) В тех случаях, когда класс точности прибора не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора. Так при измерении линейкой, наименьшее деление которой 1 мм, абсолютная погрешность равна 0,5 мм.

3. Статистический анализ случайных погрешностей

Пусть при повторении измерений одной и той же физической величины х в одинаковых условиях получены различные значения: x₁, x₂, …, x_n. Это означает, что есть причины, приводящие к случайному «разбросу» измеряемой величины x_i (помехи, трение и т. п.). В этом случае наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое значение найденных значений x_i

, (4)

где n - число измерений.

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения величины x_i является случайным событием. Вероятность появления того или иного значения чаще всего определяется законом нормального распределения Гаусса. Распределение случайных погрешностей также чаще всего бывает нормальным. Поэтому распределение Гаусса может быть записано и как закон нормального распределения случайных погрешностей , которое при бесконечно большом числе измерений имеет вид:

. (5)

Наилучшей оценкой погрешности отдельного измерения в этом случае является стандартное отклонение (СО):

. (6)

Величину ² называют дисперсией.

На кривой нормального распределения случайных погрешностей (рис. 1) имеются две характерные точки перегиба А, А. Абсциссы этих точек равны , т. е. стандартному отклонению. Можно показать, что вероятность появления погрешностей, не выходящих за пределы , равна 0,6827 ( 68 %) . Иначе говоря, при достаточно большом числе измерений (практически при n30) приблизительно 70 % результатов измерений будут попадать в интервал . В другой терминологии: «попадание результата

измерений в доверительный интервал гарантировано с надежностью = 0,68 »

Конечно, надёжность измерений может быть задана и большая, чем 0,68. В этом случае доверительный интервал расширяется и его границы могут быть рассчитаны с помощью так называемых коэффициентов Стьюдента. При выполнении учебных лабораторных работ вполне можно ограничиться надежностью =0,68.

Стандартное отклонение характеризует среднюю погрешность отдельных измерений. Результат измерений есть разумная комбинация всех n измерений, и поэтому имеются основания полагать, что он будет более надёжным, чем любое из отдельных измерений.

Стандартное отклонение среднего (СОС или SDOM - standard deviation of the mean) равно стандартному отклонению , деленному на :

. (7)

Таким образом, результат многократных измерений какой-либо физической величины должен представляться в виде:

. (8)

Чтобы учесть и случайную и систематическую погрешность, т.е. рассчитать полную погрешность измерений, обычно используют правило квадратичного сложения:

. (9)

4. Оценка точности косвенных измерений

Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин x,...,z, которые могут быть непосредственно измерены и, с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x,..., z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате. При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами.

Погрешность функции q=f(x,...,z) нескольких переменных x,...,z, измеренных с погрешностями x,...,z ... в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле:

. (10)

Вычисления погрешности с помощью формулы (9) обычно оказываются достаточно громоздкими. Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми:

1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей

. (11)

2. Относительная погрешность комбинации произведения и частного равна квадратичной сумме относительных погрешностей

,

. (12)

Правила вычисления погрешностей для некоторых других функций приведены в Приложении 1.

Рассмотрим последовательность действий при вычислении погрешности косвенного измерения на примере формулы

.

Сначала найдем абсолютную и относительную погрешность суммы w=m+M:

.

Затем найдем относительную и абсолютную погрешности величины v:

.

Анализ полученной окончательной формулы позволяет установить:

а) Погрешности каких именно величин вносят наибольший вклад в общую погрешность. Точному измерению этих величин необходимо уделить наибольшее внимание.

б) Погрешности каких величин практически не влияют на окончательный результат и их можно даже отбросить.

Будем в дальнейшем не принимать в расчет погрешности постоянных (g, e, ...) и табличных величин, измеренных с большой точностью. Например, погрешность приближенного числа 3,14 составляет всего 0,05 %.

5. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов

В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости, Например, исследуется зависимость перемещения S равноускоренного движения от времени движения. Теоретическая зависимость имеет вид

, (13)

где а – ускорение грузов.

Если по экспериментальным точкам построить график зависимости S от t, представляющий собой восходящую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это парабола и именно та парабола второго прядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т. к. похожие графики могут иметь другие закономерности. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Для того, чтобы воспользоваться этим свойством

в проверяемой закономерности необходимо выявить в ней такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются S и t². Следовательно, для проверки справедливости соотношения (13) имеет смысл строить график экспериментальной зависимости S от t². На систему координат S, t² (рис. 2) следует нанести экспериментальные точки, а также вправо и влево от них отложить отрезки, длина которых равна погрешностям измерения t² (доверительным интервалам). Если через начало координат и доверительные интервалы можно провести прямую линию, т. е. экспериментальная зависимость S = f(t²) является линейной, значит соотношение (13) подтверждено экспериментально.

Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой можно записать в виде

y = kx +b. (14)

Характеристики

Список файлов книги