150434 (598868), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

_B = _A + + = _A + × ( ) + × ; (2)

где , , - векторы угловой скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси, например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxy относительно системы координат Ax'y'z', оси которой параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на наблюдателя, а плоскости Охy и Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка.

Левые части выражений

_BA = = × ( ) = × _BA; = × ;

являются соответственно векторами скорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z' при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью и угловым ускорением . Индексы n и , в выражениях и указывают, что эти векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке B к окружности радиуса r = AB с центром в точке А. Модули упомянутых векторов н аходятся по формулам

_BA = AB = = AB = AB (3)

Векторы _BA, , лежат в плоскости движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы _BA, перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор направлен от точки В к точке А . Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия.

Поскольку модуль ускорения может быть вычислен по формуле (3) через угловую скорость тела , обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор записывать вслед за известным вектором _А, т.е. перед вектором .

Векторы и параллельны оси Оz и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось

Модуль проекции равен модулю вектора , а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны ( , то векторы направлены так же, как и , или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов сводится к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'.

Если (рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором (рис. 1) и за положительное направление отсчета угла для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то

рад/с = = рад/с. (4)

О направлении векторов и судят по круговым стрелкам и согласно правилу: "круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz".

Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,

_B =

, (5)

следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Р_z с угловой скоростью .

Е сли отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки _A к направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговой стрелки . Этот факт можно использовать для определения направления вектора .

Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),

(6)

,

следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Q_z с угловой скоростью и угловым ускорением .

Угол отсчитывается от вектора ускорения какой-либо точки в направлении круговой стрелки . При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по и , под углом к соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.

Направления векторов и помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул

. (7)

Рис. 4

Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных , , направления и находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).

Рис. 5

Кинематика плоского движения

катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общем случае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того, что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его центра (точки А) до МЦС является неизменным во времени и равным R.

AP(t) = const = R (8)

Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:

а) формулы естественного способа задания движения точки

, где - единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; S_A - криволинейная координата точки;

б) формулы (7) плоского движения тела

,

- орт оси Оz, перпендикулярной плоскости движения катка Qxy - угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла , называя его углом поворота катка.

Приравнивая правые части последних формул, имеем

.

Поскольку вектoр коллинеарен результату векторного произведения

( , ), то

.

^{Откуда, используя свойство (8), получим формулы}

, или , (9)

справедливые для любого момента времени t.

В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка в направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты S_А центра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-".

Так, например, для случая отсчетов S_А и , изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-".

Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям

, или , (10),

а также ,

где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов S_А и . Обычно принимают С=0, так как считают, что когда S_А=0, также равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10),

(11)

с ледует, что если векторы , сонаправлены, то сонаправлены и векторы , .

Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка.

Нахождение кинематических характеристик движения ( , , , ) при помощи векторных формул (1), (2) рекомендуется проводить следующим образом:

1. написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения;

2. установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения;

3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций).

Характеристики

Список файлов книги