150434 (598868), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).

Тогда скорость точки

(2.9)

Направлен вектор скорости по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения.

Найдем нормальное и касательное ускорение точки:

(2.10)

Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения.

Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости.

Рассмотрим векторное произведение (рис. 2.4). Его модуль , а направление совпадает с направлением скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости:

(2.11)

взяв от этого выражения производную по времени, получим:

Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением.

Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами:

(2.12)

Отметим, что радиус-вектор точки М можно проводить из любой точки О₁, лежащей на оси вращения (все точки оси вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только направление).

2.5 Простейшие передаточные механизмы

Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а ременных и цепных на рис. 2.5.б.

Найдем скорость точки а: на колесе І и на колесе ІІ. Так как проскальзывание отсутствует, то .

Отсюда:

(2.13)

т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i_1-2 называется передаточным отношением.

У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».

Тема 3 Сложное движение точки

3.1 Основные определения

До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки.

Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: (или ).

Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М^/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М, являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются (или ).

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются (или ).

Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а координаты х^/, у^/, z^/ точки М^/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются константами. Но в любой момент времени

х = х^/, у = у^/, z = z^/ (3.1)

Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М^/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).

- радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы охуz в неподвижной системе отсчета о₁х₁у₁z₁.

= - радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное движение точки.

- радиус-вектор, определяющий положение точки М^/ подвижной системы в этой же системе.

- радиус-вектор, определяющий положение точки М^/ подвижной системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки.

- радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной системе отсчета. Он описывает абсолютное движение.

3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений

Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов.

1. Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая единичные орты константами (в подвижной системе – они постоянны).

(3.2)

(3.3)

1. Переносную скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая координаты х^/, у^/, z^/ константами, а единичные орты – переменными.

так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х^/ на х, у^/ на у, z^/ на z:

(3.4)

(3.5)

2. Абсолютную скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая все величины переменными:

Таким образом доказана теорема сложения скоростей:

Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

(3.6)

находим абсолютное ускорение:

где введено обозначение:

(3.7)

Величина , определяемая равенством (3.7) называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса, по имени французского ученого, доказавшего теорему сложения ускорений:

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений.

(3.8)

3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл

Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю.

Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:

(3.9)

Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью (рис. 3.2). единичные орты можно рассматривать как радиус-векторы точек А, В и С соответственно. А производные по времени от радиус-векторов точек дают скорости точек.

Следовательно:

; ; (а)

с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):

; ; (б)

сравнивая (а) и (б) находим, что:

; ; ; (в)

Подставим эти значения в формулу (3.7)

Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.

(3.10)

Его величина

(3.11)

В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора к вектору на меньший угол происходящим против часовой стрелки.

Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор спроецировать на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90^о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора .

Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью , а по радиусу платформы двигается точка М с постоянной относительной скоростью V_ч (рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает положение М_о, а через промежуток времени положение М_1. При этом произошло изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось направление вектора ) и изменение переносной скорости за счет относительного движения (изменилась величина в результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются ускорением Кориолиса.

Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения.

В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:

(3.12)

Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.

Р ис. 1

Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)

_B = _A + _BA = _A + (1)

Характеристики

Список файлов книги