123553 (598586), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени

.

1.1.2.3 Решение задач кинематики точки

Ограничимся рассмотрением одного примера. Движение точки задано уравнениями:

,

в системе СИ (м, с). Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение: Сначала исключим из уравнений t.

Для этого обе части первого уравнения умножим на 3, второго - на 4, а затем почленно вычтем из первого уравнения второе.

Получим

, или

.

Следовательно, траектория - прямая линия, проходящая через начало координат под углом с .

Для определения проекций скорости на оси координат берем первые производные от исходных уравнений по времени

, .

Тогда

м/с.

Аналогично находим вторые производные и ускорение.

, , м/с².

Направлены векторы и вдоль траектории. Подставляя в уравнение скорости t от 0 и более, убедимся, что при t > 1 скорость изменит направление. Есть еще движение тела - вращательное, плоскопараллельное [1, с.117-147].

1.1.3 Основные сведения из динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. В основе динамики лежат законы, открытые И. Ньютоном (1687 г)

1.1.3.1 Законы динамики [1, с.181-184]

Первый закон (закон инерции): Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-либо силы: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы . Третий закон (закон равенства действия и противодействия): Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

1.1.3.2 Задачи динамики

Для свободной материальной точки задачами динамики являются: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.

1.1.3.3 Основные виды сил, рассматриваемые в задачах динамики

Сила тяжести. Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.

Под действием силы тело при свободном падении имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения или ускорением силы тяжести . Сила трения. Это сила трения скольжения, модуль которой

,

где N - сила нормального давления; f -коэффициент трения.

Сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу в соответствии с законом всемирного тяготения.

,

где f - гравитационная постоянная (f = 6,673  10^-3 м³/кг  с²);

т₁, т₂ - массы материальных точек;

r - расстояние между ними.

Сила упругости. Ее можно определить, исходя из закона Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Например, для пружины

,

с - коэффициент ее жесткости.

Сила вязкого трения. Это сила, действующая на тело, при его медленном движении в вязкой среде.

,

где v - скорость тела;  - коэффициент сопротивления.

Сила аэро-, гидродинамического сопротивления. Сила, тоже зависящая от скорости движения тела в воздухе, воде.

,

где  - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения; С_х - безразмерный коэффициент сопротивления.

1.1.3.4 Общие теоремы динамики [1, с. 201-219]

Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на ее скорость. Для рассмотрения теорем динамики необходимо ввести еще одно понятие - импульс силы. Элементарным импульсом тела называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt:

.

Направлен элементарный импульс силы вдоль линии действия силы. Интегрированием этого выражения можно найти импульс силы за конечный промежуток времени t

.

Теорема об изменении количества движения точки. Производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

.

Это, по существу, другой вариант второго закона динамики. Из этого равенства посредством разделения переменных и интегрирования можно получить математическое выражение теоремы об изменении количества движения точки

.

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Эту теорему можно непосредственно использовать при решении задач.

Пример: Точка с массой т = 2 кг движется по окружности с постоянной скоростью v = 4 м/с. Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности.

Решение:

Строя геометрически эту разность, находим из прямоугольного треугольника

.

Поскольку по условию задачи

v₁ = v_0, кг  м/с.

Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, используют понятие о работе силы. Элементарной работой силы , приложенной в точке М называется величина (скалярная)

,

где F_ - проекция на касательную к траектории ;

dS - модуль элементарного перемещения.

Работа силы на любом перемещении М₀М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую в единицу времени

.

Отсюда, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Например, можно определить мощность локомотива для поезда определенного веса.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема об ее изменении формулируется следующим образом: Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Данная теорема позволяет, зная, как при движении точки изменяется ее скорость, определить работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики).

1.1.3.5 Введение в динамику системы

Систему материальных точек или тел, движение или равновесие которой рассматривается, называют механической системой. Если между точками (телами) механической системы действуют силы взаимодействия, то положение или движение каждой точки в ней зависит от положения и движения всех остальных. Классический пример - Солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения.

Действующие на механическую систему активные силы и реакции связей разделяют на внешние и внутренние.

Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.

Внутренними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю;

сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра сил или оси равна нулю.

Масса системы. Центр масс.

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

.

Распределение масс в системе определяется значениями масс т_к ее точек и их взаимными положениями. В целом это распределение можно охарактеризовать некоторыми суммарными характеристиками. Ими являются координаты центра масс, осевые моменты инерции, центробежные моменты инерции. Чтоб определить эти понятия, нужно начать с определения центра тяжести.

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве. Координаты центра тяжести

;

;

Характеристики

Список файлов книги