86072 (597866), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При (2.12)

получаем

(2.13)

Р исунок 7. Функция (а) и ее радоновский образ (б)

1. В случае самоизлучающего объекта основной задачей ЭВТ является задача восстановления двумерного распределения источников излучения . Для простоты будем считать, что область, в которой распределены источники излучения, целиком расположена в области поглощения излучения, характеризующейся функцией распределения коэффициента ослабления . Обычно при измерениях с помощью ЭВТ, также как и при ТВТ, используют круговую схему с параллельными проекциями.

Рисунок 8. Круговая геометрия измерений в ЭВТ.

В [3] показано, что для ЭВТ с постоянным коэффициентом ослабления экспоненциальное преобразование Радона в декартовых координатах имеет вид

, (2.14)

а в полярных координатах

. (2.15)

Выражение (2.15) можно переписать в другом виде

. (2.16)

2.3 Выражения (2.3), (2.6) позволяет по функции найти ее радоновский образ . Существует соотношение, определяющее аналогичную связь между преобразованием Фурье этих функций. Пусть - одномерное преобразование Фурье функции по переменной , а - двумерное преобразование Фурье функции по переменным . Согласно определению

, (2.17)

. (2.18)

В трехмерном пространстве введем прямоугольную систему координат, у которой по одной оси отложены значения , а по двум другим – значения и .

Рисунок 9. Центральное сечение двумерного преобразования Фурье

Проведем плоскость, перпендикулярную плоскости и проходящую через начало координат, такую, что линия ее пересечения с плоскостью составляет с осью угол, равный (центральное сечение двумерного преобразования Фурье). В сечении этой плоскости со значениями функции получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой, например от ее расстояния до начала координат. Если это расстояние равно , координаты точки этой прямой в плоскости равны и . Следовательно, подстановкой , превращается в .

Теорема.

Пусть функция и ее радоновский образ таковы, что существуют их преобразования Фурье. Тогда одномерное преобразование Фурье радоновского образа по переменной равно функции, описывающей центральное сечение двумерного преобразования Фурье, соответствующее тому значению , при котором вычисляется преобразование Фурье функции

. (2.19)

Для доказательства (2.19) подставим в (2.17) вместо выражение (2.6) и сделаем замену переменных, аналогичную (2.4), полагая в (2.4) . Тогда получаем

=

. (2.20)

Сравнивая последний интеграл в (2.20) с (2.18), видим, что они равны, если в (2.20) под и понимать соответственно и . Следовательно, последний интеграл в (2.20) равен , что и доказывает сформулированную теорему. Легко убедиться, что теорема о центральном сечении справедлива и для случая, когда верно равенство (2.7).

2.4 Рассмотрим теперь формулы обращения и алгоритмы реконструкции, основанные на теореме о центральном сечении. Известно, что по двумерному преобразованию Фурье можно найти :

. (2.21)

Сделаем в (2.21) замену переменных, перейдя в плоскости к полярным координатам , так что , . Тогда (2.21) принимает вид:

. (2.22)

Теперь воспользуемся равенством (2.19) и вместо подставим в (2.22) функцию , после чего получим

(2.23)

Равенство (2.23) и является искомой формулой обращения, позволяющей с учетом (2.17) по найти функцию . Однако привлечение этого равенства для обработки данных томографических экспериментов оказывается не очень удобным из-за используемой в нем области интегрирования. Принимая во внимание равенство

, (2.24)

получим окончательное выражение для обращения преобразования Радона (см. Приложение Б)

. (2.25)

Для выявления детальной структуры алгоритма восстановления перепишем

(2.25) в несколько ином виде. Обозначим

(2.26)

и введем функцию от и равную

. (2.27)

Тогда (2.25) принимает вид

, (2.28)

где при вычислении интеграла по величина должна быть заменена в соответствии с (2.26) на . В целом, алгоритм обращения преобразования Радона можно интерпретировать как последовательность операций:

1) для данного радоновского образа определяется его преобразование Фурье ;

2) функция умножается на ;

3) вычисляется обратное преобразование Фурье произведения и тем самым определяется функция ;

4) аргументу функции присваивается значение (2.26);

5) проводится интегрирование функции по углу .

Рассмотрим теперь иной вид формулы обращения по сравнению с (2.25). Обозначим через импульсную реакцию фильтра с частотной характеристикой . Связь между этими функциями устанавливается прямым и обратным преобразованием Фурье

(2.29)

(2.30)

Заметим, что функция обладает свойством .

Подставим в (2.25) вместо правую часть (2.30), а вместо - (2.17). Тогда получим

(2.31)

Интегрирование по дает , а последующее интегрирование по приводит к выражению

(2.32)

Выражение (2.32) отличается от (2.25) тем, что в последнем участвует преобразование Фурье радоновского образа, а в (2.32) сам радоновский образ. Алгоритм (2.32) можно представить как совокупность трех последовательных операций:

1) вычисляется свертка данного радоновского образа с функцией ;

2) аргументу функции , описывающей получаемую свертку, присваивается значение (2.26);

3) проводится интегрирование функции по углу .

2.5 Обращение экспоненциального преобразования Радона (2.14) – (2.16) представляет существенно более сложную задачу. Ограничимся здесь рассмотрением только случая радиально-симметричной функции . Тогда экспоненциальное преобразование Радона превращается в экспоненциальное преобразование Абеля [2]

= = .

В [2] показано, что обратное экспоненциальное преобразование Абеля имеет вид

=

. (2.33)

3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ (МЕТОД А. КОРМАКА)

В этом разделе рассмотрим восстановление функции изображения по ее проекциям, полученным при помощи внешнего источника излучения. Запишем искомую функцию в полярной системе координат . Тогда по переменной , , произвольная двумерная функция будет периодической и ее можно разложить в ряд Фурье

, . (3.1)

Аналогично разложим в ряд Фурье по переменной проекцию

, . (3.2)

В полярной системе координат (2.3) имеет вид

, (3.3)

Далее найдем гармонику

=

= , (3.4)

где . Преобразуем функцию , используя свойство - функции от сложного аргумента

,

где - функция Хевисайда, , . Следовательно,

, =

= (3.5)

где - многочлен Чебышева 1-го рода порядка . Выражение (3.5) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции . В [3] показано, что решение (3.5) имеет вид:

. (3.6)

Итак, зная проекции , можно по формуле (3.2) найти гармоники , а затем вычислить гармоники по формуле (3.6) и, подставляя их в (3.1), найти искомую функцию .

Для радиально-симметричной функции в полярной системе координат преобразование Радона превращается в частный случай преобразования Абеля

= =

= . (3.7)

В [3] показано, что решение интегрального уравнения (3.7) имеет вид

. (3.8)

4. РЕКОНСТРУКЦИЯ ТОМОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ПРОЕКЦИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПОЛИНОМАМИ

4.1. Рассмотрим алгоритм реконструкции изображения, основанный на приближенном представлении проекционных данных в виде конечного ряда ортогональных полиномов. Пусть имеется полная ортонормированная последовательность функций . Тогда, если искомая функция квадратично интегрируема, то она может быть представлена в виде
, (4.1)
где

, (4.2)

а - действительная неотрицательная весовая функция, относительно которой функции в области задания взаимно ортогональны.

Учитывая равенство (5.1), задачу реконструкции функции по ее радоновскому образу можно сформулировать как задачу нахождения коэффициентов по получаемым проекционным данным. Формально это означает, что требуется найти соотношение, например, типа (4.2), но которое определялось бы не функцией , а . Вид искомого соотношения зависит от конкретной ортогональной последовательности и определить его в общем случае не удается. В [5] приводится решение данной задачи для ортогонального базиса, составленного из функций

, (4.3)

где - полиномы Цернике, для которых выполняются соотношения

,

. (4.4)

Опуская громоздкие промежуточные выкладки, приведем окончательные выражения и сопроводим их необходимыми пояснениями, вскрывающими их физическую сущность. Предварительно заметим, что если изучаемая функция задана в некоторой ограниченной области , то всегда эту область можно охватить окружностью с некоторым минимальным радиусом а, и, положив в тех точках , , где соответствующий круг не пересекается с , рассматривать задачу о восстановлении функции в пределах данной окружности. Далее, произведя нормировку координат , на величину , можно перейти к случаю восстановления функции в пределах окружности единичного радиуса. Лишь при выполнении данного условия возможно использовать последовательность функций (4.3).

Для реконструкции функции заданной в круге единичного радиуса, нужно по полученным проекционным данным рассчитать величины

, (4.5)

где - полиномы Чебышева второго рода.

Характеристики

Список файлов книги