85774 (597831), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1-ый шаг метода Гаусса.

На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:

( 2 )

где

Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).

Система примет вид:

( 3 )

Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

2-ой шаг метода Гаусса.

На втором шаге исключим неизвестное х₂ из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:

( 4 )

где

Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:

Предполагая, что находим

В результате преобразований система приняла вид:

(5)

Система вида (5) называется треугольной.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

Для этого найденное значение х₃ подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂. Затем х₂ и х₃ подставляют в первое уравнение и находят х₁.

В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.

Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.

В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.

Треугольная система имеет вид:

Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.

Ступенчатая система имеет вид:

Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1, … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.

Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

доцент Смирнова А.И.

Характеристики

Список файлов книги