85767 (597827), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Розглянемо розв’язання задачі лінійного програмування, якщо у обмеженнях є нерівності двох напрямків. Потрібно максимізувати функцію

Z = 4х₁ + 2х₂ – х₃,

за умов обмежень

х ₁ + х₂ + х₃ 8;

х₂ + х₃ 10;

х₁ + х₂ + 2х₃ 30;

Перетворимо першу нерівність за допомогою змінної х₄

х₁ + х₂ + х₃ - х₄ 8;

До цих трьох обмежень додамо штучні змінні у₁, у₂, у₃ (х₅, х₆, х₇). Цільова функція набуває вигляду

Z = 4х₁ + 2х₂ – х₃ + 0 х₄;

обмеження:

х ₁ + х₂ + х₃ – х₄ + у₁ + 0 у₂ + 0 у₃ = 8;

0 х₁ + х₂ + х₃ + 0 х₄ + 0 у₁ + у₂ + 0 у₃ = 10;

х₁ + х₂ + 2х₃ + 0 х₄ + 0 у₁ + 0 у₂ + у₃ = 30;

Вектори у₁ ( 0 ); у₂ ( 1 ); у₃ ( 0 ) утворюють базис

тримірний у загальному симівимірному просторі х₁, х₂, х₃, х₄, у₁, у₂, у₃.

Кількість невідомих n = 7; обмежень m = 3; вільних змінних n – m = 7 – 3 = 4.

Базові змінні у₁, у₂, у₃; вільні змінні х₁, х₂, х₃, х₄. Базове опорне рішення

х (0; 0; 0; 0; 1; 1; 1), Z (х) = 0.

Розв’язок задачі надамо у вигляді симплекс-таблиці.

Таблиця

Х* (30; 0; 0; 22; 0; 10; 0); Z = 4х₁ + 2х₂ – х₃ = 4 30 = 120.

Z* = 120 – 2х₂ – 9х₃ – 4у₃ = 120.

Тема 4. Теорія двоїстості та двоїсті оцінки в аналізі розв’язків лінійних оптимізаційних моделей

Основна та двоїста задачі як пара взаємноспряжених задач лінійного програмування.

Дві задачі лінійного програмування називаються взаємно двоїстими, якщо виконуються такі умови:

1. матриці системи обмежень двох задач є транспонованим, одна відносно другої;

2. система обмежень складається з нерівностей, які в обох задачах направлені у протилежні боки;

3. коефіцієнти оптимізуючої форми однієї задачі є вільними членами системи обмежень другої задачі і навпаки;

4. форми в обох задачах оптимізуються протилежно – перша на максимум, друга на мінімум.

Зв’язок розв’язків взаємноспряжених задач лінійного програмування полягає у тому, що розв’язуючи симплексним методом одну з них, автоматично отримують розв’язок другої задачі. Оптимальні розв’язки двоїстих задач збігаються.

Економічна інтерпретація двоїстої задачі лінійного програмування

Розглянемо приклад виробничої задачі.

Виробництво може виготовляти при різновиди продукції. Обсяг ресурсів обмежений, вартість продукції та витрати на кожен з різновид продукції відомі і наведені у таблиці.

Таблиця

(у₄) (у₅) (у₆)

Потрібно знайти кількість кожного з різновидів продукції, які забезпечують найбільшу вартість загальної продукції. З економічної точки зору вартість ресурсів, використаних на виготовлення одиниці продукції, не може бути меншою, ніж вартість самої одиниці продукції, інакше це позначає, що вартість частини одиниці продукції виникає з повітря. Для якої завгодно виробничої програми вартість виробленої продукції не перевищує загальної вартістю наявних ресурсів. Проаналізуємо отримані результати. Розв’язок прямої задачі вказує на то, що необхідно виробити першої продукції х₁ = 60 одиниць, третьої продукції х₃ = 12 одиниць, другу продукцію виробляти непотрібно (х₂ = 0). Використані повністю ресурси робочої сили (х₄ = 0) та сировини (х₅ = 0), залишок енерговитрат складає х₆ = 180 кВт – год. Розв’язок двоїстої задачі вказує на те, що ресурси перший (у₁ 0) та другий (у₂ 0) використані повністю, третій ресурс надмірний (у₃ = 0). Додаток першого обмеженого ресурсу на одиницю збільшує цільову функцію прямої задачі на 12 одиниць (зростає вартість, бо у₁ = 12), другого обмеженого ресурсу на одиницю збільшує Z(x), цільову функцію, на 60 одиниць (у₂ = 60). Збільшення третього ресурсу (необмеженого) – енерговитрату околиці оптимального плану не викликає змін цільової функції. Як у_n = 0, у₆ = 0, так це позначає, що виробництво продукції першої та третьої не є збитковим; у₅ = 170 – це позначає, що виготовлення одиниці другої продукції викликає збиток у 170 грошових одиниць. перевіримо це таким чином: вартість ресурсів на другу продукцію складає

а₁₂у₁ +а₂₂у₂ + а₃₂у₃ = 20 12 + 3 60 + 60 0 = 420,

Характеристики

Список файлов книги