49769 (597461), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Особенностью выполнения логических операций микропроцессором является то, что они выполняются над двоичными кодами (словами, полусловами, двойными словами) поразрядно.

Булевы алгебры

Со школы читатель привык к слову алгебра. При этом под алгеброй, как правило, понимается раздел математики, посвященный изучению свойств числовых (арифметических) операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т.д.), выражений, тождеств, уравнений и т.п.

Но, вообще говоря, слово алгебра в математике понимается значительно шире.

А именно: Алгеброй называют множество объектов любой природы с определенными и замкнутыми на этом множестве операциями.

Если какая-либо операция определена на множестве Q и результат ее также принадлежит этому множеству, то говорят, что операция замкнута на этом множестве, или множество замкнуто относительно операции . Например, множество натуральных чисел N замкнуто относительно операций сложения и умножения натуральных чисел, но не замкнуто относительно операций вычитания и деления, которые могут в качестве результата давать значения, не принадлежащие множеству натуральных чисел (вычитание – отрицательные числа, а деление – дробные).

С этой точки зрения, арифметика – это алгебра с операциями сложения и умножения, замкнутыми на множестве натуральных чисел. Если к числу операций добавить вычитание, то, строго говоря, это уже не будет алгебра.

Рассмотренная в § 1 настоящей главы теория множеств также является алгеброй в указанном выше смысле. Это алгебра множеств, объектами которой являются множества, а определенными и замкнутыми на этих объектах являются операции объединения, пересечения, дополнения.

Точно так же, рассмотренная в § 2 настоящей главы логика высказываний является алгеброй. Это алгебра высказываний, объектами которой являются высказывания, а определенными и замкнутыми на этих объектах являются операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Две последние алгебры принадлежат к особому типу алгебр, называемых булевыми.⁸)

Булева алгебра представляет собой множество объектов (любой, но одинаковой, природы) с двумя «особыми» объектами («константами») - «единица» (I) и «нуль» (О), и двумя замкнутыми на множестве объектов операциями «сложения» (+) и «умножения» (), обладающими следующими свойствами:

коммутативность + и :

A+B=B+A, AB=BA;

ассоциативность + и :

A+(B+C)=(A+B)+C, A(BC)=(AB) C;

дистрибутивность + относительно и относительно +:

A+(BC)=(A+B) (A+C), A(B+C)=(AB)+(AC);

идемпотентность + и :

A+A=A, AA=A.

Кроме того, «особые» объекты («константы») I и O обладают следующими свойствами:

A+O=A, A+I=I, AI=A, AO=O.

С точки зрения этого определения алгебра множеств является булевой алгеброй, в которой роль «сложения» играет операция объединения множеств ( ), роль «умножения» – операция пересечения множеств ( ), роль константы «нуль» – пустое множество (), роль «единицы» - универсальное множество (U). Легко проверить, что все указанные выше свойства операций и констант булевой алгебры здесь выполняются.

Алгебра высказываний также является булевой алгеброй. В ней роль «сложения» играет операция дизъюнкции (), роль «умножения» – операция конъюнкции (&), роль “нуля” – логическая константа Л, роль “единицы” – логическая константа И. И опять-таки легко проверить, что все указанные выше свойства операций и констант булевой алгебры выполняются.

Аналогично можно убедиться в том, что «алгебра переключательных схем» также является булевой: «сложению» будет соответствовать параллельное соединение контактов, «умножению» – последовательное соединение, константе «нуль» – всегда разомкнутый контакт, «единице» – всегда замкнутый контакт. ⁹)

В заключение приведем пример еще одной булевой алгебры – «алгебры максимумов и минимумов». Примем в качестве объектов (элементов) нашей алгебры, например, множество всех чисел отрезка [0,1], т.е. 0х1. В качестве операции «сложения» будем рассматривать операцию взятия максимального из двух чисел x и y и обозначать ее max (x,y), в качестве операции «умножения» - операцию взятия минимального из двух чисел x и y и обозначать ее min (x,y). В качестве константы «нуль» примем минимальное число из рассматриваемого отрезка, то есть число 0, а в качестве «единицы» – максимальное число из рассматриваемого отрезка – 1.

Легко проверить, что для определенных таким образом констант и операций выполняются все свойства булевой алгебры.

В самом деле:

коммутативность min и max:

min (x,y)=min(y,x), max (x,y)=max(y,x);

ассоциативность min и max:

min (x, min (y,z)) =min (min (x, y),z),

max (x, max (y,z)) =max (max (x, y),z);

дистрибутивность min относительно max:

min (x, max(y,z)) = max(min(x,y),min(x,z)),

max (x, min(y,z)) = min(max(x,y),max(x,z));

идемпотентность min и max:

min(x,x)=x, max(x,x)=x;

свойства констант 0 и 1:

min(x,0)=0, min(x,1)=x, max(x,0)=x, max(x,1)=1.

Рекомендация: Проверьте (хотя бы на примерах) справедливость этих соотношений

1⁾Кроме этих значений часто используются обозначения: T (true – истина) и F (false – ложь), а также 1 и 0.

2⁾ F и Ф называют в этом случае подформулами формулы логики высказываний.

3⁾ Естественно, логикой высказываний не исчерпывается все многообразие логических рассуждений. Кроме логики высказываний, важное значение имеют логика предикатов, модальная логика, нормативная логика, временная логика, многозначная логика, нечеткая логика и т.д.

4⁾ Как такое утверждение В найти или построить - это и есть часть доказательства, зачастую носящая эвристический, то есть поисковый, характер и относится к содержанию математической дисциплины, теорема из которой доказывается. Для нас важна форма доказательства, то есть, его структура.

5⁾ Как известно, формула АВ эквивалентна конъюнкции (AB)&(BA).

6⁾ См. книгу: Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. –М.:Наука, 1966. –120 с.

7⁾ Заинтересованному читателю можем порекомендовать, например, книгу: О.А. Маслюков. Вычислительная техника и программирование. -М.:Высшая школа,1993.-208 с.

8⁾ Название булевы эти алгебры получили в честь известного английского математика Джорджа Буля (1815-1864).

9⁾ Более подробную информацию о булевых алгебрах можно получить в книге: И.М. Яглом. Необыкновенная алгебра. -М.: Наука, 1968. -70с.

Характеристики

Список файлов книги