49309 (597443), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Лекция №3. 18.02.2003

— управляющие воздействия (уставки).

— возмущающие воздействия.

3.2 Обобщенная структура локального регулятора САР. Проблемы управления.

1 — объект регулирования;

2 — регулятор (контроллер);

3 — устройство сравнения.

— вектор регулирования;

— регулирующее воздействие.

— вектор ошибки.

В данном случае:

1. — известен.

2.

3. Показатель точности

Тогда: Проблема регулирования состоит в определении такого вектора регулирования (алгоритма), который обеспечивал бы минимум n частных показателей эффективности , каждый из которых зависит от одной из составляющих вектора ошибки, при изменяющихся связях (2) и ограничениях (3).

Задача регулирования — это частный случай проблемы управления, а локальный регулятор является объектом локального оптимизатора (смотри Рисунки №№1, 2).

3.2.1 Типовая функциональная схема локального регулятора. Состав элементов

— источники энергии.

1 — преобразующее устройство;

2 — последовательное корректирующее устройство (аналоговое или цифровое (микропроцессор)) (придаёт системе требуемые свойства);

3 — усилительное устройство;

4 — исполнительное устройство;

5 — параллельное корректирующее устройство (включается встречно-параллельно и охватывает звенья подсистемы с наиболее неблагоприятными свойствами);

6 — объект регулирования;

7 — элемент (устройство) главной обратной связи;

8 — местная обратная связь;

9 — главная обратная связь.

Локальные регуляторы содержат в своей структуре измерительные, усилительные, исполнительные и корректирующие устройства. Пример системы: смотри ДЗ.

Следовательно, САР — замкнутая динамическая система использования получающихся сигналов для управления источниками энергии, стремящаяся сохранить в допустимых пределах ошибки между требуемыми и действительными значениями регулируемых переменных путем их сравнения.

3.2.2 Основные типы локальных регуляторов

Множество локальных регуляторов можно упорядочить по различным признакам:

Во-первых, в зависимости от характера информации, используемой в регуляторе:

1.) С регулированием по разомкнутому циклу (по возмущениям).

Проблема состояла в определении регулирующего воздействия.

Здесь регулятор настраивается в зависимости от основного возмущения .

“+”: высокое быстродействие, так как регулятор настраивается сразу по возмущению, а не так, как в случае регулирования по замкнутому циклу.

“–”: трудность программирования регулятора на возможные возмущения, следовательно, невысокая точность.

2.) С регулированием по замкнутому циклу (по отклонениям).

“+”: в независимости от причин появления ошибки , система работает по принципу её (ошибки) компенсации.

“–”: быстродействие ниже, чем в случае с регулированием по разомкнутому циклу.

3.) С регулированием по комбинированию.

Объединение случаев регулирования по разомкнутому циклу и по замкнутому циклу.

Во-вторых, в зависимости от уставки :

1. Системы стабилизации .

2. Программные системы , причём — известно.

3.) Следящие системы , причём — заранее неизвестная функция.

В-третьих, в зависимости от размерности n вектора состояния :

1. Одномерные n = 1.

2. Двумерные n = 2.

3. Многомерные n = 3.

В-четвёртых, в зависимости от количества контуров в системе:

1. Одноконтурные (используется только главная обратная связь, нет местных связей).

2. Двухконтурные (используются одна главная и одна местная обратные связи).

3. Многоконтурные (используются одна главная и много местных обратных связей).

В-пятых, в зависимости от установившегося значения ошибки:

1. Статические .

2. Астатические .

Систему называют астатической по управляющему (или возмущающему) воздействию, если при подаче на вход постоянного управляющего (или возмущающего) воздействия ошибка в установившемся состоянии не зависит от величины этого воздействия и равна нулю.

Сравнить рисунки 24 и 26 методических указаний.

В-шестых, в зависимости от характеров сигналов, циркулирующих в системе:

1. Непрерывные.

2. Импульсные.

3. Релейные.

4. Релейно-импульсные (кодово-импульсные).

5. На переменном токе (с гармонической модуляцией).

1.) В непрерывных системах сигналы могут быть описаны непрерывными во времени функциями.

3.2.2.1 Импульсные системы

Эти системы содержат импульсные устройства (2), осуществляющие квантование сигналов по времени (АИМ).

Типовая структура импульсных систем:

1 — непрерывная часть системы.

Импульсное устройство (ключ), замыкаясь в дискретные равноотстоящие моменты времени (t = i∙T, i = 0, 1, 2, …, где i — период повторения, а T — период дискретности), преобразует непрерывный входной сигнал в дискретный .

Реальный ключ (2) удобно условно представить в следующем виде:

3 — идеальный ключ; 4 — формирователь.

Лекция №4. 19.02.2003

Идеальный ключ (3) преобразует непрерывный сигнал (рисунок а)) в последовательность идеальных импульсов типа δ-функций (рисунок б)), далее эта последовательность поступает на формирователь (4).

Формирователь (4) преобразует эту последовательность в реальные импульсы определённой формы, длительности (γT, 0<γ≤1) и амплитуды (рисунок в)).

При запоминании на интервале дискретности T при γ = 1 формирователь (4) называют Экстраполятором Нулевого Порядка (Э0П).

Математическая модель Э0П непрерывна и может быть отнесена к непрерывной части системы. В результате типовая структура импульсной системы примет вид:

Рисунок № !

5 — приведенная непрерывная часть;

6 — импульсный фильтр

3.2.2.2 Релейные системы

Релейные системы содержат в своей структуре устройства (реле), осуществляющие квантование сигнала по уровню. В результате, на выходе реле сигнал будет непрерывным, но ступенчатым

3.2.2.3 Релейно-импульсные системы

В них происходит квантование сигналов по времени и по уровню.

К этому типу относятся цифровые системы управления, в частности АСУТП с используемым ВК.

При большом количестве разрядов АЦП и ЦАП квантованием можно пренебречь, и отнести такие системы к импульсным.

3.2.2.4 Системы на переменном токе

В них содержится модулятор, осуществляющий один из видов гармонической модуляции (всего их три: АМ, ЧМ, ФМ).

В-седьмых, в зависимости от вида используемой энергии:

1. Механические.

2. Электрические.

3. Пневматические.

4. На горячем газе.

5. Гидравлические.

6. Комбинированные.

В-восьмых, в зависимости от степени идеализации математической модели:

Смотри Раздел №4.

В-девятых, и т.д.

3.3 Требования, предъявляемые к системам

Помимо подхода, рассмотренного выше, при проектировании систем управления можно использовать ряд требований, которые определяют допустимые условия работы, а именно:

1. к устойчивости;

2. к качеству регулирования;

3. к динамической точности;

4. к управляемости;

5. к наблюдаемости;

6. к условиям эксплуатации;

7. к стоимости;

8. к др.

3.3.1 Устойчивость

В системах управления часть энергии с выхода системы подаётся на вход (обратная связь), энергия не может изменяться мгновенно, кроме того существуют запаздывания, а системы по своей природе являются колебательными. Поэтому, при определённых условиях система вместо подавления колебаний может стать их генератором, то есть неустойчивой.

3.3.2 Качество регулирования

Устойчивость определяет свободное движение системы, когда внешнее воздействие отсутствует. Важно определить поведение системы при наличии таковых. Поэтому анализируют качество регулирования при наиболее неблагоприятных или типовых воздействиях:

3.3.2.1 Единичное ступенчатое воздействие

1.) Несмещенное , т.е. .

2.) Смещенное , т.е. .

Ступенчатое воздействие может быть и неединичным: ,

Переходная функция h(t) — реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.

3.3.2.2 δ-функция. Импульсное воздействие

1.) Несмёщенная δ-функция .

Свойства несмещённой δ-функции:

1. . 2. .

3. Если непрерывная ограниченная функция, то .

4. .

2.) Смещённая δ-функция .

Свойства смешённой δ-функции:

1. . 2. .

3. Если непрерывная ограниченная функция, то .

4. Пусть непрерывное воздействие произвольного вида, например:

Следовательно, .

Импульсная переходная функция k(t) или функция веса (весомости) — реакция системы на δ-функцию.

3.3.2.3 Гармоническое воздействие

а) .

б) .

Такое воздействие позволяет:

1) При анализе вынужденного установившегося движения определить частотные характеристики системы.

2) Определив реакцию системы на гармоническое воздействие б) и разложив периодическое воздействие в ряд Фурье, с учётом принципа суперпозиций можно определить реакцию системы на это воздействие ( ).

3.3.2.4 Типовое воздействие “постоянная скорость”

, .

3.3.2.5 Типовое воздействие “постоянное ускорение”

, .

3.3.3 Динамическая точность

Реальные системы работают в условиях, когда воздействия могут быть случайными; при этом отсутствует установившееся состояние в системе, и важно оценить поведение системы в переходном режиме.

Тогда в качестве основной характеристики рассматривают динамическую точность. Мерой динамической точности часто служит среднее значение квадрата ошибки (или дисперсия ошибки).

3.3.4 Управляемость систем

Понятие управляемости означает, можно ли, вообще, управлять системой. Иногда это можно установить по структуре системы:

Пример № 1.

Система неуправляема, так как управление не управляет второй подсистемой.

3.3.5 Наблюдаемость

С качественной точки зрения под наблюдаемостью системы понимают способность состояния системы создавать выходной сигнал.

Пример № 2.

Система не наблюдаема, так как измеряется , а не измеряется.

Пример № 3.

1 подсистема — управляема и наблюдаема.

2 подсистема — управляема и не наблюдаема.

3 подсистема — не управляема и наблюдаема.

4 подсистема — не управляема и не наблюдаема.

Лекция №5. 25.02.2003

Раздел 4. Математические модели систем управления

4.1. Основные виды математических моделей

Математические модели могут быть:

1. Линейными;

2. Нелинейными

В свою очередь каждая из них может быть:

1. Непрерывной (система дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);

2. Дискретной (система разностных уравнений);

3. Дискретно-непрерывной (сочетание непрерывной и дискретной систем).

В свою очередь каждая из них может быть:

1. Стационарной;

2. Нестационарной.

Математическая модель нестационарна, если хотя бы один из параметров системы изменяется с течением времени.

В свою очередь каждая из них может быть:

1. С сосредоточенными параметрами;

2. С сосредоточенными и распределёнными параметрами.

1.) Физические параметры системы (например, масса, скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать), коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. В результате, математическая модель будет, например, системой дифференциальных уравнений в полных производных ( ).

2.) Если система содержит одну из подсистем (например, канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, то математическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальных уравнений в частных производных ( ).

В свою очередь каждая из них может быть:

1. Детерминированной;

2. Стохастической или со случайными параметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайной функцией или величиной).

и др.

4.1.1 Математические модели в области вещественной переменной (временной области)

4.1.1.1 Дискретные математические модели

4.1.1.1.1 Решетчатые функции

Решетчатая функция (РФ) — функция, существующая в дискретны равноотстоящие друг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этими значениями аргумента.

Пример такой функции:

смотри рисунок б) лекции №3.

— РФ,

Функции f(t) соответствует функция , ( )

Одной и той же РФ соответствует множество огибающих непрерывных функций (смотри рисунок выше):

— огибающие функции.

Если ввести безразмерное время , то будет соответствовать РФ .

Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы

Разность может быть прямой ( ) и обратной ( ).

.

Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являются её суммы:

1. Полная ;

2. Неполная .

4.1.1.1.2 Разностные уравнения.

Связь между решетчатой функцией и её разностями устанавливают разностные уравнения, например:

Линейное разностное уравнение

(I΄)

Или через дискреты РФ:

(I)

Уравнение (I) — это алгоритм решения разностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях y и f и дискретах искомой РФ x в предшествующие моменты времени.

Коэффициенты уравнения (I) однозначно вычисляются из уравнения (I’).

4.1.1.2 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.

4.1.1.2.1 Математическая модель системы

Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами

Всего три подсистемы: объект , регулятор и элемент сравнения .

Объект — динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:

Х — любая линейная или нелинейная функция.

Составим уравнение регулятора:

Регулятор — также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:

Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь

Составим уравнение элемента сравнения:

Система уравнений , , — это математическая модель рассматриваемой системы.

В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.

4.1.1.2.2 Линеаризация математической модели

Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.

Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования.

Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной.

Рассмотрим один из этих методов:

он опирается на гипотезу малости отклонений “Δ”-вариаций переменных х(t), y(t), r(t), f(t), от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х₀(t), y₀(t), r₀(t), f₀(t), , например, в установившемся состоянии.

Рассмотрим уравнение объекта :

Полагая и , решения уравнения можно найти в виде , а уравнения в виде , тогда:

Лекция №6. 26.02.2003

Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х₀ , r₀ , f₀ :

.

Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при , ) после преобразований в операторной форме это уравнение ( ) можно записать в следующем виде:

Здесь , а D_O, M_O, N_O —полиномы от оператора р такие, что:

;

;

, где:

;

;

.

Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:

Исключая из системы уравнений , , переменные , и опуская индекс вариации Δ, линеаризованная математическая модель системы примет вид:

(II΄)

где:

;

;

,

где a₀ – a_n, b₀ – b_n, c₀ – c_n однозначно определяются коэффициентами α, β и γ системы.

Тот же вид, но в развёрнутой форме:

(II)

4.1.2 Математические модели систем управления в комплексной области

4.1.2.1 Преобразование Фурье

Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f(t), т.е. функции, удовлетворяющие условию (1), можно представить в виде интеграла Фурье:

(2)

(3)

Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f(t).

Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1(t)], e^-αt, e^αt, sinαt при α>0, tⁿ при n=1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье.

4.1.2.2 Преобразование Лапласа непрерывных функций

Рассмотрим f₁(t)=f(t)e^-ct, c=const такая, что:

(4)

При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f(t)=0 t<0.

c>c₀ (c₀ — абсцисса абсолютной сходимости).

Для [1(t)] с₀=0

Для e^-αt с₀=α

Для e^αt с₀=-α

Для sinαt с₀=0

Тогда получим (5)

Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.

(6)

f(t) F(s)

4.1.2.3 Нули и полюсы изображения F(s)

F(s) — дробно рациональная функция.

Корни полиномов R(s) и Q(s) определяют свойства изображения или свойства этой функции.

4.1.2.3.1 Нули изображения F(s)

Представим F(s) в следующем виде:

, а , значит F(s) имеет ноль кратности m в точке .

4.1.2.3.2 Полюса изображения F(s)

Полюса изображения F(s) — это корни полинома знаменателя Q(s).

, где ,

а , т.е. изображение F(s) содержит полюс кратности n при .

На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”.

4.1.2.4 Дискретное преобразование Лапласа

Данное преобразование применяется для решетчатых функций.

(7)

(7΄)

4.1.2.5 Z-преобразование

Введём новую комплексную переменную z=e^st, тогда (7) можно представить в следующем виде:

≜ (8)!!!!

s=c+j∞

Выбрав c>c₀ ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f[i] F(z).

Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f[i] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f[i] по его изображению не однозначна.

4.1.2.6 Основные свойства преобразования Лапласа и Z-преобразования

Лекция №7. 04.03.2003

Характеристики

Список файлов книги