Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тому перед дослідниками постає задача підбору такого виду функції, яка б своєю формою відповідала основним формам періодичних і неперіодичних залежностей економічних процесів. Другою задачею є визначення коефіцієнтів обраної функції за вибіркою статистичних даних.

Існуючі в економіці залежності повинні мати не тільки періодичні функції, але й експоненціальні та степеневі. Тому була обрана наступна формула

, (2.1.1)

де х – аргумент, у – функція, A - Н – константи, e – основа натурального логарифму. В залежності від чисельних значень констант, ця формула дає множину кривих, представлену на рис.2.1.1.

Рис. 2.1.1 Типи кривих, які можна створити за допомогою формули (2.1.1)

Вирішення другої задачі ускладнюється тим, що не існує таких математичних перетворень, які б дозволили лінеаризувати (2.1.1), щоб потім отримати значення констант A - Н методом регресії або найменших квадратів. Тому був застосований наступний оптимізаційний підхід:

1. Встановити довільні значення констант A - Н .

2. Для всіх значень аргументу і довільних значень констант розрахувати величину у, яку позначимо як у_р за формулою.

3. Для кожного значення функції знайти (у_р – у_ф)², де у_ф – фактичне значення функції, отримане за статистичними даними.

4. Вирішити оптимальну задачу з функціоналом виду

, (2.1.2)

а параметрами, що змінюються, будуть константи A - Н . Де N – розмір статистичної вибірки.

Вже перші розрахунки за допомогою функції “Пошук рішень” електрон-них таблиць Excel показали, що константи E та G визначаються як нулі у випадку, коли амплітуда синусоїди менше середнього значення функції у 3-10 разів. Тому, для збільшення точності розрахунку, рекомендується встановлювати обмеження на значення констант за наступним правилом:

1. На графіку, який було побудовано за статистичними даними, виділяється елемент кривої, що нагадує синусоїду і знаходиться проміжок значень аргументу, на якому ця синусоїда здійснює повне коливання – Δх. Тоді, для константи E треба встановити наступне обмеження

E ≤ (0,5 – 1,5) 2π/Δх₁. (2.1.3)

1. Початкові значення констант B та F рекомендується становити рівними одиниці, константи Н – середньому арифметичному статистичного значення функції, константу – D - 0.05, А=0.

2. Константа C визначається з максимальної амплітуди Δу тієї частини графіку, яка визначена як синусоїдальна, і має наступні обмеження

С ≤ (0,4 – 0,6) Δу. (2.1.4)

Наведемо приклади застосування запропонованої методики. Нижче під заголовками наведені графіки різних періодичних процесів економіка, а в таблиці 2.1.1. подані значення констант для цих графіків, знайдені з урахуванням. В малюнках прийняті наступні умовні позначення у_р – ■ у_ф – ♦.

Таблиця 2.1.1.

Номер рисунка	Значення констант для (1)
	A	B	C	D	E	F	G	H
2	0,00145	7,34660	150000	-29,39	0,9	-0,436	-0,39	98923
3	11042,3	-3,901	25396,8	-0,899	0,855	0,8772	0,409	226049
4	-22,22	0,7731	4204,4	-0,009	0,0006	4,5492	7,829	285,39
5	595,51	-4,862	60	0,0235	1	0,8697	9,5	45
6	17,0537	0,57627	19,9770	-0,05	201,32	-94,12	1,684	30,100

Споживання палива енергогенеруючою компанією

Рис. 2.1.2. За місяцями Рис. 2.1.3. За днями тижня

Потік замовлень на підприємство зв’язку

Рис. 2.1.4. За днями тижня Рис. 2.1.5. За годинами робочого дня

Залежність прибутку приватного підприємства від свого попереднього значення.

В цьому випадку була використана так звана авторегресійна модель, тобто залежність прибутків та збитків (прибутків зі знаком мінус) від своїх попередніх значень. Оскільки формула не дає бажаного результату, якщо якесь число зі статистичної вибірки має від’ємне значення (константи B та F можуть бути дробовими, а, отже, жодне значення аргументу не може бути від’ємним, бо воно знаходиться через логарифмування), то до значень статистичної вибірки було додано число більше за найбільше за модулем від’ємне значення аргументу.

Рис.2.1.6 Прибуток за кварталами

З отриманих результатів проведених досліджень можна зробити наступні висновки:

1. Запропонований оптимізаційний алгоритм дозволяє будувати модель циклічних економічних процесів за будь-якою наперед обраною формулою.

2. Запропонована формула дозволяє будувати моделі різних за своєю природою економічних процесів.

2.2 Опис методики отримання числових коефіцієнтів за допомогою метода Ньютона

Метод Ньютона може бути віднесено до оптимізаційних задач в наступній постановці

(2.2.1)

тобто потрібно вирішити систему F_x(x^k+1-x^k)=-f(x^k) . Будемо використовувати - розуміючи під цим вектора.

Теорема 3. Якщо f_i(x) безперервні, разом з першими похідними в опуклій області G , що містить рішення системи і при матриця F_x не вироджена, то існує така околиця що при кожнім метод Ньютона сходиться к.

Доказ. Розглянемо

(2.2.2)

Введемо

і матрицю

.

Очевидно, що F(x,x)= F(x) , тобто маємо тотожності

(2.2.3)

тоді

Використовуючи одержимо

Поблизу околиці для кожного найдеться таке x⁰ , що якщо

,

то

Тоді

тобто

На початкове наближення x⁰ накладена умова, яку перевірити складно.

Теорема Канторовича 4. Якщо функції f_i(x) безперервні разом зі своїми 1 -ми і 2 -ми похідними в деякій опуклій області G , що містить крапку x⁰ разом з її околицею і виконані наступні умови:

1) у крапці x⁰ існує матриця F^-1 така

2) (2.2.4)

3) (2.2.5)

4) (2.2.6)

те послідовність x^k+1=x^k-f^-1_x(x^k)F(x^k) сходиться к. є єдиним рішенням системи f(x)=0 в області і має місце оцінка

Доведемо 3 нерівності

а)

б)

в)

а)

б)

в)

З ітераційного процесу при k=0

Тепер

тобто матриця F^-1_x(x⁰)F_x(x¹) не вироджена, і

і

З F_x(x⁰)(x¹-x⁰)+f(x⁰)=0

Покажемо, що при всіх k мають місце нерівності:

(2.2.6)

Нехай має місце m=k-1

Повторимо нерівності

Нерівність показує, що в колі R послідовність x^k є фундаментальною, тобто мається межа.

Оцінимо збіжність

тобто, спрямовуючи права частина не міняється, , тобто при дуже гарна збіжність.

Модифікація методу Ньютона в тім, що F^-1_x(x^kp) обчислюють не на кожнім кроці; при матриця не міняється, що різко зменшує число арифметичних дій, але накладає більш тверді обмеження на область і швидкість збіжності.

2.3 Методика розрахунку точності прогнозування за критерієм Персона

Для визначення точності прогнозування необхідно знайти різницю між прогнозованим і реальним значенням параметра.

Нуль-гіпотеза приймається, якщо критерій узгодження Пірсона (або «хі-квадрат»)

, (2.3.1)

буде менший або дорівнювати табличному значенню цього критерію при достатньо великому значенні довірчої ймовірності. Фрагмент таблиці критерію Пірсона χ2(r, р) поданий нижче. Тут п – розмір вибірки, k_і – прогнозоване значення параметру; р_і – реальне значення параметру: d – загальна кількість діапазонів, на які розбита область існування випадкової величини. r= d - 1 – число ступенів свободи.

Таблиця 2.3.1. Значення χ2(r, р)

r р	1	3	5	7	10	15	20	25	30
0,99	0	0,115	0,554	1,239	2,56	5,23	8,26	11,52	14,95
0,95	0,004	0,352	1,145	2,17	3,94	7,26	10,85	14,61	18,49
0,9	0,016	0,584	1,61	2,83	4,86	8,55	12,44	16,47	20,6
0,8	0,064	1,005	2,34	3,82	6,18	10,31	14,58	18,94	23,4

2.4 Результати отримання числових значень коефіцієнтів у апроксимаційних формулах

Для цього було взято перші 12 точок значень кожного числового коефіцієнта і виконано розрахунок коефіцієнтів в апроксимаційних формулах у наступному порядку:

1. Проведена лінія тренду по реальним значенням параметру К з визначенням формули лінії тренду Y(x). Тут і далі х – номер часового періоду, з кроком в один квартал, починаючи з 1-го кварталу 2004 року.

2. Різниця між лінією тренду і реальними значеннями була апроксимована за наведеною вище методикою Y(x)-K.

3. Для різниці було застосовано методику нелінійної апроксимації і отримано числові значення коефіцієнтів складної формули y(x).

4. Три останніх точки були використані для перевірки за критерієм Пірсона якості прогнозування із застосуванням функції ХИ2РАСП електронних таблиць Excel. Було визначено рівень довірчої ймовірності при заданому рівні хі-квадрат та числа степенів свободи.

Результати розрахунків представлено на рис. 4.4.1-2.4.22 і в табл.. 2.4.1.-2.4.11.

Характеристики

Список файлов ВКР