151740 (594705), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1.1 Волновой процесс

Термины «волна», «волновой процесс», употребляемые в физике и технике, получили широкое распространение. Под распространением волны понимается постепенное вовлечение среды в некоторый физический процесс, приводящее к передаче энергии в пространстве.

Пусть в какой-то области пространства наблюдается физический процесс, который в точке можно охарактеризовать функцией

. В другой точке

измерения величины

в это же время, быть может, покажут отсутствие процесса

. Но через какое-то время он будет передан средой, и мы отметим, что

В простейшем случае будет обнаружено лишь запаздывание процесса во времени, т. е. , где

— время, требуемое для прохождения пути

со скоростью

. Пусть в пространстве существует зависимость только от одной координаты

. Характеризующая процесс функция

(1.1)

построена при и при

. Очевидно,

.

Говорят, что функция (1.1) описывает волну. Иногда волны этого рода называют «недеформируемыми»; имеется в виду, что временной закон во всех точках пространства — с точностью до сдвига — одинаков. Волна называется плоской и однородной. Дело в том, что, положив

, мы задаем плоскость, на которой мгновенное значение функции

постоянно. Любую такую плоскость называют фронтом волны. В некоторый момент

фронт, для которого

движется вдоль оси

со скоростью

,

. Плоскую однородную волну, распространяющуюся в противоположном направлении, следует описывать при помощи выражения (1.1) с изменением знака

(1.1а)

Обратимся к однородному волновому уравнению

(1.2)

Если пользоваться декартовой системой координат и рассматривать только процессы, не зависящие от

и

, то волновое уравнение примет вид

(1.3)

Путем непосредственной подстановки нетрудно убедиться, что функции, выражаемые формулами (1.1) и (1.1а), являются решениями одномерного волнового уравнения (1.3).

Общее решение уравнения (1.3) выражает формула

(1.4)

где и

— произвольные дважды дифференцируемые функции. Это наложение двух плоских однородных недеформируемых: волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

1.2 Гармонические волны

Если в (1.1) взять такую функцию , что

то в каждой точке пространства процесс будет иметь характер гармонических колебаний

или

(1.5)

Такого рода плоская однородная волна называется гармонической, а введенный параметр — волновым числом.

Как видно, полная фаза гармонических колебании в пространстве при заданном

убывает пропорционально

; значения функции

при этом периодически повторяются. Пространственный период называют длиной волны. Очевидно, для произвольного

должно быть

. Поэтому из (1.5) следует, что

, т. е.

(1.6)

а также

(1.7)

где —частота процесса.

Чтобы составить, более наглядное представление о гармонической волне, положим сначала и получим

т.е. функцию, характеризующую распределение величины

вдоль оси

в начальный момент

. Эта косинусоида (кривая на рис. 1.2а) представляет собой как бы «мгновенный снимок» процесса. Выберем следующий фиксированный момент

и для него запишем

где то есть не что иное, как расстояние, пройденное волной за истекшее время

. «Мгновенный снимок», соответствующий моменту

, дает, таким образом, косинусоиду, смещенную по оси

на расстояние

(кривая 2 на рис. 1.2а). Итак, распространение гармонической волны — это движение косинусоидального распределения и вдоль прямой с постоянной скоростью.

Плоская однородная гармоническая волна выражается одним из частных решений одномерного волнового уравнения (1.3). Метод комплексных амплитуд приводит (1.3) к виду

(1.8)

Это не что иное, как одномерная форма уравнения Гельмгольца. Его общее решение можно выразить следующей суммой:

(1.9)

( и

—комплексные константы:

и

).

Рисунок 1.2

Умножая комплексную амплитуду на

и отделяя вещественную часть, находим

(1.10)

Это наложение двух гармонических волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Гармоническая волна, движущаяся вдоль оси , возникает как частное решение при

.

В качестве другого частного решения рассмотрим наложение бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами и начальными фазами

. При этом из (1.10) получаем

(1.11)

Такой процесс называется стоячей волной. Его отличительной особенностью является синфазность колебаний. Действительно, в каждой области постоянства знака множителя фаза зависит только от времени (это величина

или

). В зависимости от

косинусоидального изменяется амплитуда гармонических колебаний

. Ряд «мгновенных снимков» процесса для разных моментов времени дает картину, показанную на рис. 1.2б; косинусоидальное распределение и вдоль оси

не движется (в отличие от бегущей волны), а испытывает «пульсации». При этом расстояния между соседними неподвижными нулями (узлами) равны

; таковы же и расстояния между соседними максимумами (пучностями).

1.3 Поляризация и наложение волн

Для описания ориентации волны, распространяющейся в заданном направлении, существует понятие поляризации. Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую через направление распространения и параллельную вектору . Таким образом, всякое наложение двух волн с произвольными амплитудами и фазами есть также некоторая электромагнитная волна. Любая из плоскостей, проходящих через ось

, может в равной мере быть плоскостью поляризации.

Существенно, что при распространении волны плоскость ее поляризации может и не оставаться неподвижной, т. е. волна может изменять свою ориентацию относительно направления распространения. Действительно, рассмотрим электрические поля двух ортогонально поляризованных волн одного направления и составим их наложение

(1.22)

Если фазы волн совпадают ( и

), то, как легко убедиться, наложение волн есть волна, поляризованная в неподвижной плоскости, составляющей угол

с плоскостью поляризации первой волны. Это плоская, или линейная, поляризация.

Картина оказывается иной, если фазы налагающихся волн различны. Пусть, например, при одинаковых амплитудах ( ) фазовое различие составляет

. Полагая в (1.22)

и

, определим вектор

как

(1.23)

Определяя угол , указывающий положение плоскости поляризации волны, имеем

(1.24)

т. е. угол наклона вектора к оси

не остается постоянным в пространстве и времени, а равен

. Как видно, в каждой фиксированной плоскости

вектор

вращается с угловой скоростью

, а в фиксированный момент времени

распределение поля вдоль оси таково, что конец вектора

«скользит по винтовой линии». Это волна круговой поляризации, точнее, левой круговой поляризации. Правая круговая поляризация соответствует случаю

и

(вращение в противоположном направлении).

Если налагаемые волны имеют произвольные амплитуды и фазы, то результирующий волновой процесс есть волна эллиптической поляризации. Вращаясь, вектор при этом изменяется по величине и описывает эллипс. Ориентация и эксцентриситет эллипса определяются соотношением комплексных чисел

и

.

Наложение противоположно направленных волн одинаковых амплитуд вызывает процесс, называемый стоячей волной. Особенностью электромагнитной стоячей волны является характерное пространственное и фазовое смещение распределений и

.

Рассмотрим, например, стоячую волну, поляризованную в плоскости , Положив

и

находим

(1.25)

или, переходя от комплексных амплитуд к векторам поля в случае идеального диэлектрика ( ,

):

(1.26)

Узлы (или пучности) стоячих волн векторов и

сдвинуты на четверть волны. Во времени же эти поля смещены на

по фазе. Такая стоячая волна в среднем не переносит энергии, как легко убедиться, вычисляя среднюю величину вектора Пойнтинга.

2. Резонансы и направляемые волны в плоских системах

2.1 Плоский резонатор

Распределение поля, возникающее в идеальном диэлектрике при нормальном падении волны на идеально проводящую плоскость, стоячая волна обладает тем свойством, что в любой плоскости, расположенной на расстоянии

от границы раздела сред, выполняется условие

. Следовательно любую из таких плоскостей можно заменить границей с идеальным проводником, так что в «отсеченном» диэлектрическом слое сможет существовать прежнее поле.

Рассмотрим теперь плоский диэлектрический слой между двумя идеально проводящими плоскостями, расположенными на некотором фиксированном расстоянии . Из предыдущего следует, что необходимым условием существования поля в данной системе является кратность величины

половине длины волны в диэлектрике. Запишем это в двух формах:

,

Характеристики

Список файлов ВКР