86288 (589960), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Решим предыдущую задачу с помощью этой формулы.

Сочетание с повторениями из m элементов по n элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до n включительно, либо совсем не содержать его. Во всех случаях два соединения не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

6. Первичное закрепление

Давайте сначала выясним, чем отличаются размещения от сочетаний? В сочетаниях порядок элементов не важен, а размещениях – важен!

Задача 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формуле получаем

Задача 2. В магазине «Филателия» продается 8 различных марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:

Задача 3. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

Решение:

а)

б)

Задача 4. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Задача 5. На тренировках занимаются 10 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?

Решение.

Задача 6. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?

Решение. наборов

Задача 7. Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних?

Решение: число различных треугольников равно числу сочетаний с повторениями из четырех элементов по три: .

Из них количество разносторонних треугольников равно числу сочетаний без повторений их четырех элементов по три, т.е. . Количество равносторонних треугольников – 4, а равнобедренных треугольников: 20 – 4 – 4=12.

Задача 8. Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?

Решение.

Задача 9. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? 8 различных открыток?

Решение. 293 930 способами.

6. Итог урока

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- Чем отличаются сочетания от размещений? (сочетания – порядок не важен, размещения – порядок важен!)

Урок 10. Урок-практикум. Подготовка к контрольной работе

Цели:

• подготовить учащихся к контрольной работе с помощью решения задач и повторения некоторых теоретических вопросов;

Оборудование: карточки с задачами.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

Сегодня на уроке мы будем готовиться к контрольной работе: решать задачи и повторять теорию

1. Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе

1. Практикум

Теоретические вопросы

Заполнить пропуски:

1. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить … способами. (m+n)

2. Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями … из п элементов по k. (с повторениями)

3. Два … из п элементов по т отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (сочетания)

Решение задач

Решить задачи:

1. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать?

2. Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

3. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

4. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

5. Из 12 солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?

6. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из этого списка 6 книг?

7. Назовем симпатичными числа, в записи которых используют только нечетные числа. Сколько существует четырехзначных симпатичных чисел?

8. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

9. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

10. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальных инструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантов выбора есть у мишки?

11. Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но и указать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?

12. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

13. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можно сформировать из них 3 набора?

14. Сколько существует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?

15. Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

16. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?

17. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

18. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы и решения к задачам

1. Р_n=4!=24

7. нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9

2. Р_n=n!=4!=24

4. 6 способов

7. Р_n=6!=720

9. P_n=5!=120

Урок 11: Контрольная работа по теме «Комбинаторные задачи»

Цели:

• Проверить знания, умения, навыки по всему курсу с помощью контрольной работы с разноуровневыми заданиями;

Оборудование: карточки с заданиями.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Контрольная работа по вариантам

I вариант

Заполнить пропуски:

1. Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются (комбинаторными).

2. Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить способами. (m∙п)

3. Произведение всех чисел от 1 до n называется (факториалом)

4. Число размещений с повторениями находится по формуле: ( )

5. Сочетаниями … из n элементов по т элементов называются соединения, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов. (без повторений)

6. Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид: … ( )

Решить задачи:

1. Сколько всевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4, 5?

2. Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

3. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

4. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

5. Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

6. Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

7. На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

II вариант

Заполнить пропуски:

1. Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются (комбинаторными).

2. Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить способами. (m∙п)

3. Произведение всех чисел от 1 до n называется (факториалом)

4. Число размещений с повторениями находится по формуле: ( )

5. Сочетаниями … из n элементов по т элементов называются соединения, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов. (без повторений)

6. Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид: ( )

Решить задачи:

1. Сколько всевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

2. Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

3. Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

4. За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

5. Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

6. В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

7. Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы и решения

Литература

1. Гнеденко Б. В., Журбенко, И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика //Математика в школе. – 2007. - №6. – с. 67-70.

2. Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 5-8 классах. /Под. ред. С. И. Шварцбурга. - М.: Просвещение, 1977. – 288с.

3. Дихтярь М., Эргле Е. Исторические комбинаторные задачи и комбинаторные модели //Математика. – 2007. - №14. – с. 23-24.

4. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 8-е изд. - М.: Просвещение, 2006. – 302с.

5. Нурк Э. Р., Тельгман А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. – 4-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1994. – 304с.

6. Овсянникова Л.В. Факультативный курс по математике //Начальная школа. – 2005. - №9. – с. 29-33.

7. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.

8. Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. - Д.: ВАП, 1994. – 527с.

9. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №15. – с. 28-32.

10. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №16. – с. 19-22.

11. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004. - №17. – с. 22-27

12. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 1997. – 464с.

13. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я //Математика. – 2001. - №26. – с. 9-23.

14. http://combinatorica.narod.ru/second.htm

Характеристики

Список файлов ВКР