86281 (589958), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) ;

2) , де ;

3) якщо виконується одне з наступних відносин:

4) із завжди треба

Доказ:

1) Очевидно, що – конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і .

2) – конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. Значить

3) Нехай . Тоді

Застосуємо до останнього трьох співвідношенням мальцевський оператор такий, що

Тоді одержимо

Аналогічним образом показуються інші випадки з пункту 3).

4) Нехай

Тоді справедливі наступні співвідношення:

Отже,

де – мальцевський оператор.

Тоді

тобто .

Тому що

те .

У такий спосіб . Лема доведена.

Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.

Лема. 2.3. Будь-яка підалгебра алгебри , що містить діагональ , є конгруенцією на алгебрі .

Доказ:

Нехай

Тоді з

треба, що

Аналогічним образом з

одержуємо, що

Отже, симетрично й транзитивне. Лема доведена.

Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.

Лема 2.4. Нехай . Тоді для будь-якої конгруенції на алгебрі .

Доказ:

Позначимо й визначимо на алгебрі бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

де

Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що – конгруенція на алгебрі , причому

Нехай

Тобто

Тоді

і, значить

Нехай, нарешті, має місце

Тоді справедливі наступні співвідношення:

застосовуючи мальцевський оператор до цим трьох співвідношенням, одержуємо

З леми 2.2 треба, що

Тому що

те

Виходить,

Але , отже, .

Отже,

і задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.

Лема 2.5. Нехай , – конгруенції на алгебрі , і – ізоморфізм, певний на .

Тоді для будь-якого елемента відображення визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому .

Зокрема, .

Доказ.

Очевидно, що – ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції , ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що

те визначена конгруенція

задовольняючому визначенню 2.1.

Ізоморфізм алгебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів і , що належать . Але тоді легко перевірити, що – конгруенція на алгебрі , ізоморфна конгруенції .

Це й означає, що

Лема доведена.

Визначення 2.2. Якщо й – фактори на алгебрі такі, що

те конгруенцію позначимо через і назвемо централізатором фактору в.

Нагадаємо, що фактори й називаються перспективними, якщо або

або

Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.

Теорема 6 Нехай , , , – конгруенції на алгебрі . Тоді:

1) якщо , те

2) якщо , те

3) якщо , і фактори , перспективні, те

4) якщо – конгруенції на й , те

де , .

Доказ.

1) Тому що конгруенція централізує будь-яку конгруенцію й , те

2) З першого пункту леми 2.2 треба, що

а в силу леми 2.4 одержуємо, що

Нехай – ізоморфізм . Позначимо

По лемі 2.5 , а по визначенню

Отже,

3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції й на алгебрі має місце рівність

Покажемо що

Позначимо . Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі існує така конгруенція , що виконуються наступні властивості:

а) якщо , те

б) для будь-якого елемента ,

в) якщо

те

Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що – конгруенція на . Нехай

для . Тоді

Тому що – конгруенція, то для кожної -арної операції маємо

Очевидно, що

Отже,

Очевидно, що для будь-якої пари

Виходить,

Отже, по лемі 2.3, – конгруенція на . Покажемо тепер, що задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує . Нехай

1()

Тоді

Тому що , і , те . Отже, задовольняє визначенню 2.1.

Якщо , то

виходить,

Нехай, нарешті, має місце (1) і

2()

Тоді

Тому що й , те , отже, . З (2) треба, що , а за умовою . Виходить, і тому

Тим самим показано, що конгруенція задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує .

Доведемо зворотне включення. Нехай

Тоді на алгебрі визначена конгруенція

задовольняючому визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

3()

тоді й тільки тоді, коли

4()

і , .

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що – конгруенція на алгебрі . Помітимо, що з доведеного включення в одну сторону треба, що . Покажемо тому, що централізує .

Тому що

те

тобто задовольняє умові 1) визначення 2.1.

Якщо , то

отже,

Нехай має місце (3) і .

Тому що

те

З (4) треба, що , отже,

тобто

На підставі леми 2.2 містимо, що

Отже, .

А тому що , те , тобто

4) Позначимо . Нехай

і задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що – конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.

Це й означає, що

Теорема доведена.

Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.

3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для й – конгруенції на алгебрі – говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) із завжди треба

2) для будь-якого елемента завжди виконується

3) якщо , те

Очевидно, що для будь-якої конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо й – конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:

Тоді

і в силу транзитивності із цих співвідношень треба, що

По визначенню 2.1 одержуємо, що

Наступне визначення центральності належить Сміту [3].

Визначення 3.1. , якщо існує така , що для будь-якого ,

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай і – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,

Доведемо зворотне включення.

Нехай . Тому що , те з умови 2) треба, що

У силу транзитивності маємо

і, виходить, у силу умови 3) . Отже

Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , те

Це означає .

Для одержуємо, що

звідки .

Відповідно до роботи [3]

Визначення 3.2. Алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції

називаний центральним, що

Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай – підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що має центральний ряд

те для кожного на алгебрі існує конгруенція задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з

завжди треба

1) для будь-якого елемента

завжди виконується

2) якщо

и

те

Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

тоді й тільки тоді, коли

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :

де

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі для кожного визначимо бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що – конгруенція на алгебрі . Нехай

Тоді

і для кожної -арної операції маємо

Отже,

Отже, – підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента має місце

Таким чином, відповідно до леми 2.3, – конгруенція на алгебрі .

Нехай

Тоді й тому що ,

те

Якщо , то й, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і тому що

Отже,

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай і – конгруенції на алгебрі ,

і – ізоморфізм, певний на алгебрі .

Тоді для будь-якого елемента відображення

визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому

Доказ:

Очевидно, що – ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції й ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що , те існує конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів , .

Характеристики

Список файлов ВКР