86281 (589958), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Але тоді легко перевірити, що – конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай

центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на алгебрі ряд

є центральним, тобто

для кожного . У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11 [5]) і леми 3.2., досить показати, що

Нехай – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді зі співвідношення

треба, що

Тому що

те . Отже,

Нехай . Тоді для деякого елемента , і .

Таким чином,

отже,

Тому що , те це означає, що

Нехай

де

Покажемо, що . У силу визначення найдуться , що

При цьому мають місце наступні співвідношення:

Отже,

Але тоді по визначенню 3.2.

А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лема 3.4. Нехай – конгруенція на алгебрі , . Полога

тоді й тільки тоді, коли для кожного , одержуємо конгруенцію на алгебрі .

Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і – нильпотентне алгебри, те – нильпотентна алгебра.

Нехай

центральні ряди алгебр і відповідно. Якщо , те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі в такий спосіб:

де тоді й тільки тоді, коли , , .

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто для довільного . Тому що

те на алгебрах і відповідно задані конгруенції й , що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

і тільки тоді, коли

и

Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що – конгруенція на алгебрі . Залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце

Тоді відповідно до уведеного визначення

звідки треба, що

т.е.

Нехай

Це означає

Але тоді

и

Отже,

Нехай має місце

Це означає, що

Виходить, і , тобто . Лема, доведена.

Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 7 Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Визначення 3.3. -арна група називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд

що

и

для кожного .

Тому що конгруенції на -арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад, [2]), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лема 3.6. Нехай – -арна група. і – нормальні підгрупи групи й .

Тоді , де й конгруенції, індуковані відповідно підгрупами й на групі .

Доказ:

Підгрупи й індуцирують на групі конгруенції й , обумовлені в такий спосіб:

– -арна операція.

Визначимо на бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів і з і відповідно, що

Покажемо, що – підалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор .

Нехай

Тому що , те

Тому що , те

Тому в силу того, що ,

Отже, – підалгебра алгебри .

Нехай – нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відношення треба, що

Тим самим довело, що – конгруенція на .

Тo, що задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.

Лема 3.7. Нехай – нильпотентна -арна група. Тоді задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Тому що для кожного , те індуцирує конгруенцію на . У такий спосіб володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи звідси треба, що нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.

4. Класи абелевих алгебр і їхнї властивості

Як уже було відзначено в параграфі 3, алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенцій

називаний центральним, що

для кожного .

Визначення 4.1. У випадку, якщо для нильпотентной алгебри в центральному ряді , тобто якщо для неї , то алгебра називається, абелевої.

Лема 4.1. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай підалгебра абелевої алгебри .

Тому що по визначенню , то на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Розглянемо конгруенцію

Дійсно, якщо

для , те

і для кожної -арної опеации маємо

Але оскільки підалгебра алгебри , одержуємо

Виходить, підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента має місце

Таким чином, конгруенція на алгебрі .

Нехай

тоді

те Якщо , те

і, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і значить .

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.

Лема 4.2. Фактор-Алгебра абелевої алгебри абелева.

Доказ:

Нехай алгебра – абелева, тобто . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на виконується

Нехай – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , , , , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1. Нехай

тоді

Нехай

Тоді , і по визначенню 2.1

При цьому й . Відповідно до наших позначень одержуємо, що

Нехай

Тоді найдуться , що

и

При цьому

Отже,

Але тоді по визначенню 3.1. . А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Лема 4.3. Прямий добуток кінцевого числа абелевих алгебр абелево.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і – абелеви алгебри, те – абелева алгебра.

Нехай і . Це означає, що на алгебрах і задані конгруенції й задовольняюче визначення 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

и

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді

Нехай . Це означає, що й . Але тоді

и

Отже,

Нехай

тоді

І

Це означає, що й . У такий спосіб

Лема доведена.

Результати, отримані в лемах 4.1, 4.2, 4.3 можна тепер сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8 Клас всіх абелевих алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Нехай – конгруенція на алгебрі . – підалгебра алгебри , і . Тоді введемо нове позначення

Лема 4.4. Нехай визначена множина . Тоді – конгруенція на ,

Доказ:

Тому що , те для будь-якого елемента завжди найдеться такий елемент , що . Отже,

де .

У такий спосіб .

Нехай тепер , . Тоді

де . Отже, для кожної -арної операції одержуємо

Тепер, оскільки , те по лемі 3.2 – конгруенція на .

Нехай . Тоді, мабуть,

. Тому що

те

Покажемо тепер, що . Допустимо противне. Тоді найдеться така пари , що й . З визначення треба, що існує така пари , що

Тому що

те застосовуючи мальцевський оператор одержуємо

З леми 2.2. тепер треба, що .

Отже, . Лема доведена.

Підалгебра алгебри називається нормальної в , якщо є суміжним класом по деякій конгруенції алгебри .

Лема 4.5. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри є нормальною.

Доказ:

Нехай – підалгебра абелевої алгебри . Тому що , те по лемі 4.4. на існує така конгруенція , що

Лема доведена.

Висновок

Таким чином, у даній роботі ми докладно з доказами на підставі результатів робіт [3] і [4] виклали теорію централізаторів конгруенції універсальних алгебр і розглянули формаційні властивості нильпотентних алгебр, на підставі результатів 3 увели поняття абелевої алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] довели наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр із мальцевського різноманіття утворить спадкоємну формацію.

Список літератури

1[] Кушніров Л.О., Елементи загальної алгебри. – К., 2003

2[] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формації алгебраїчних систем. – К., 2004

3[] Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

4[] Русаков С.О., Алгебраїчні -арні системи. – К., 2003

5[] Кон П., Універсальна алгебра. – К., 2004

6[] Ходалевич О.Д., Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр . – К., 2004

7[] Ходалевич О.Д. Формаційні властивості нильпотентних алгебр . – К., 2004

8[] Ходалевич А.Д. Прикладна алгебра . – К., 2004

Характеристики

Список файлов ВКР