86068 (589924), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(*). <
,
> - дистрибутивна и
, то для элементов
,
, справедливо равенство
:
значит, полурешётка < ,
> - дистрибутивна.
<
,
> - дистрибутивна. Пусть решётка
содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка содержит пентагон,
. Нужно найти такие элементы
и
, чтобы выполнялось равенство
. Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что <
,
> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка
не содержит пентагона.
2) Пусть решётка содержит диамант,
. Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка
не содержит диаманта.
Можно сделать вывод, что решётка дистрибутивна.
(**). Имеем , поэтому
, где
(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того,
является нижней границей элементов
и
.
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент и
-
и
. Тогда
Ø ,т.к.
, нижняя граница элементов a и b, содержится там.
Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.
Покажем, что совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых,
- идеал. Действительно,
и
и
Во-вторых, пусть идеал
и
. Тогда
, т.е.
- точная нижняя грань идеалов A и B, т.е.
.
Теперь покажем, что совпадает с пересечением всех идеалов
, содержащих A и B. Обозначим
. Поскольку
для
для
, то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.
(***). Пусть
– верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что
.
Пусть , т.е.
(рис.3), для некоторых
Понятно, что . По дистрибутивности, существуют
такие, что
. Т.к. A – идеал, то
, потому что
. Аналогично,
. Т.е.
. Точно также,
. Если
, то легко показать, что
.
Доказали, что - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы
для любых
, т.е.
Поэтому
, поскольку
является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.
Теперь покажем, что выполняется равенство:
.
. Пусть
, где
,
. Т.к.
, то
, откуда
и следовательно
. Аналогично,
, значит,
. Пусть
,где
.
Отсюда следует дистрибутивность решётки .
– дистрибутивная решётка,
. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:
( ,будет нижней границей для
). Поэтому
, что и доказывает дистрибутивность полурешётки
. ■
2. Стоуново пространство.
Определение: Подмножество верхней полурешётки
называется коидеалом, если
из неравенства
следует
и
существует нижняя граница
множества
, такая, что
.
Определение: Идеал полурешётки
называется простым, если
и множество
является коидеалом.
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в < >, то
. Тогда X обладает максимальным элементом.
Лемма 2: Пусть – произвольный идеал и
– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки
. Если
, то в полурешётке
существует простой идеал
такой, что
и
.
Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C – произвольная цепь в X и Если
, то
для некоторых
Пусть для определённости
. Тогда
и
, т.к.
- идеал. Поэтому
. Обратно, пусть
, тогда
, для некоторого
Получаем
, откуда
.
Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.
Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть L\P и
. Поскольку
, то
, иначе в противном случае
по определению идеала. Следовательно,
. Если
, то
и
пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем
и
для некоторых элементов
. Существует элемент
такой, что
и
, по определению коидеала, следовательно
и
для некоторых
Заметим, что
и
не лежат в P, т.к. в противном случае
.
Далее, , поэтому
для некоторых
и
. Как и прежде
. Кроме того
, поэтому
- нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■
В дальнейшем, через будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через
множество всех простых идеалов полурешётки
.
Множества вида представляют элементы полурешётки
в ч.у. множестве
(т.е.
). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через топологическое пространство, определённое на множестве
. Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.
Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:
Тогда множества вида исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда
,
но 0 лежит в любом идеале, а значит .
2) Возьмём произвольные идеалы и
полурешётки
и рассмотрим
Пусть . Тогда существуют элементы a
и
Отсюда следует, что
, где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d
такой, что
и
, значит,
. Т.к.
, следовательно,
. Получаем, что
.
Обратное включение очевидно.
2) Пусть - произвольное семейство идеалов. Через
обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства
. Покажем, что
- идеал. Пусть
, тогда
, где
для некоторого идеала
. Тогда
лежит в идеале
, следовательно,
и
, т.е.
. Обратно очевидно.
Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.
■
Лемма 4: Подмножества вида пространства
можно охарактеризовать как компактные открытые множества.
Доказательство.
Действительно, если семейство
открытых множеств покрывает множество
, т.е.
, то
Отсюда следует, что
для некоторого конечного подмножества
, поэтому
. Таким образом, множество
компактно.
Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда
и можно выделить конечное подпокрытие
для некоторых
.
Покажем, что I порождается элементом .
Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с
. По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий
и не пересекающийся с [b). Получаем,
, т.к.
(т.е.
), но
, т.к.
, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если
- главный идеал.■
Предложение 5: Пространство является
- пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что
. Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является
- пространством. ■
Теорема 6: Стоуново пространство определяет полурешётку
с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки и
изоморфны тогда и только тогда, когда пространства
и
гомеоморфны.
Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.
Пусть
и
гомеоморфны (
) и
. Тогда a определяет компактное открытое множество r(a)
. Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество
, с однозначно определённым элементом
по лемме 4. Таким образом получаем отображение
:
, при котором
. Покажем, что
- изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из
, то
, следовательно,
, поэтому
и
- инъекция.
Для произвольного открытому множеству
соответствует
и очевидно
, что показывает сюръективность
.
Пусть a,b – произвольные элементы из . Заметим, что
. Открытому множеству
при гомеоморфизме
соответствует открытое множество
, а
соответствует
. Следовательно,
=
. Поскольку
=
, то
, т.е.
■
Литература.
-
Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
-
Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
-
Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.
27