85928 (589900), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ответ: 5.

Пример №13

Решение

1) , , . Это решение .

2) , , .

3) отрицательных значений не имеет.

При или все решения в уравнении , и .

При , - верно. .

Ответ: -1, 2, 3, 4.

Пример №14

Решение

ОДЗ:

1. При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При

2) , и . - решение, а .

3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .

При , - верно. .

Ответ: 4, 5.

Пример №15.

,

Решение

используя свойства логарифма и получили:

=

В первой части уравнения выполнили преобразования

. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.

или .

Ответ: 2.

Пример №16

Решение

ОДЗ:

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

; .

, , где

1) , - верно.

2) ,

Пасть , тогда

, или .

Следовательно; или , , .

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.

Пример №17

Решение

ОДЗ: и

Выполним преобразования.

+ = 2+2

+ = 4

Пусть , а ,

Следовательно, или

,

2*2^t = 4

2^t = 4/2

2^t = 2

t = 1

Ответ: 2.

Пример №18

Решение

ОДЗ:

;

Прологарифмируем обе части равенства:

, где .

Умножим обе части уравнения на 2.

Пусть , тогда

, или

1) ,

или

Ответ: 0.1, 10.

Пример №19

Решение

ОДЗ:

Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!

,

или

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

, - верно.

, - верно.

Ответ: -3, 3.

Пример №20

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

или

Прологарифмируем по основанию 10.

или

1) или

,

Ответ: 0.01, 100.

Пример №21

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем по основанию 10.

, где .

Пусть , тогда:

умножим на 4

,

, или

1)

2)

Ответ: 0,0001, 10.

Пример №22

Решение

ОДЗ:

Заменим: , получим:

, где .

Решаем уравнение:

; или

1) ; ; . .

2) , , , , .

;

; ; .

Ответ: 0,1, 1, 10.

Пример №23

Решение

и

\ :

Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:

или

составляем систему уравнений:

Ответ: (13;8)

Пример №24

Решение

ОДЗ:

;

,

; или

, .

Ответ: 5.

Пример №25

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим:

или

Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:

.

Решая его относительно , находим , .

Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:

. Значит, , т.е. .

Ответ: 30, 100.

Пример №26

Решение

Так как , то при и имеем равносильное уравнение:

или

.

,

Ответ: 5.

Пример № 27

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:

,

; или

1) 2)

Ответ: 0.1, 100.

Пример №28

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

и , поэтому

Пусть , тогда

или .

1)

;

2)

Ответ: , 3.

Пример №29

Решение

1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) = 1, =1, , или

=-1, , .

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3) (т.к.

)

При все решения принадлежат уравнению . или .

При

= 0, что не удовлетворяет уравнению

,

Ответ: , .

, .

, .

Пример №30

Решение

ОДЗ:

=

1) , , .

2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .

Ответ: , - , и , .

Пример №31

Решение

1) или , и . Это решение. .

2) , и

3) Так как , то ;

;

; . Это решение.

Ответ: ; 5; 3; 4.

Пример №32

Решение

при всех

1) , - решений нет.

2) . Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) ;

;

;

;

;

;

;

и ;

; ;

; ;

;

;

- решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:

Решение

У функции Д(y): x > 0 и log₂ x > 0, т.е.,

x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда (определение логарифма: ).

Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

у

2

1

0 1 4 х

Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).

Пример №34

Решить систему уравнений:

Решение:

По определению логарифма имеем:

.

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

.

Из второго уравнения системы выразим у через х:

,

Тогда:

Пусть , , Д = (-5)² -4*1*4 = 9, , или .

1) 2)

Д = (-3)² – 4*1*(-4) = 25 пусть , тогда

или Д = (-1)² – 4*3*4 = -47<0

или корней нет

(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).

Пример №35

Решите систему уравнений:

Решение.

По определению логарифма имеем:

Основание логарифма может быть:

1) (дробное)

(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.

2)

Выполним преобразования:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

,

, ,

или

Пусть , тогда

Д = (-)² -4*1*(-2) = 9

или

: (х+1)

, где

;

1)

или

Решаем биквадратное уравнение

Примем , тогда получим

D = 3² – 4*1*(-4) = 25

; или

а)

б) ; (не удовлетворяет ОДЗ)

- решение системы уравнений.

2)

или

- (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)² -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ: . [ ]

Пример № 36

Решение

Для любого х и ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и

Решаем ее.

принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: .

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Неравенства вида (или меньше) при а(х)>0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Пример 1.

Решить неравенство:

2^3x:+⁷ < 2^2x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.

Ответ: -8.

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение.

Так как 625 = 25²= , то за­данное неравенство можно записать в виде

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х² - 8 = -2. Имеем последовательно

,

,

,

.

Решив последнее неравенство, полу­чим 2 х 3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 3.

Решим неравенство

0,5^7-Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 ^-2 = 4, перепишем заданное нера­венство в виде

0,5^7-Зх < 0,5^-2. Показательная функция y= 0,5^x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не­равенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ: ( — оо ; 3).

Пример 4.

Решим неравенство

Показательная функция y = 6^x возрастает. Поэтому дан­ное неравенство равносильно неравенству х² + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)

и (1; оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).

Пример 5.

Решим неравенство:

Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа. Но , , а функция убывает,

поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.

Ответ: ( - 2; 1).

Пример 6.

Решение

1)

2 3 10

Изобразим на числовом луче

Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.

2)

И зобразим на числовом луче

10

Если , то

-решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к. или 1 не удовлетворяют условию, а при т.е. получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ:

Пример 7

Решение

При , х = 2,5 или х = -1

При или можно записать .

При второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

-1 2,5 3

Система не имеет решений.

2)

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

решение системы неравенств.

3) , - выражение имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При - верно.

При - верно.

При - верно.

4) , х₂ = 2,5 и х₁ = -1

При х = -1 – не имеет смысла выражение 0^-4.

При х = 2,5, 0^2,5 – не имеет смысла.

5)

;

При ; - верно.

При ; - верно.

Ответ: или .

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками

по данной теме.

Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.

Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1. Ответ: .

Характеристики

Список файлов ВКР