85847 (589880), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

2) х = и – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))

3) x = и – 1 + О(е^-2и) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е^-2и))

4) x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) = 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е^-4и))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

,

где n – целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n при (n → ).

Если x > 1, то [6]

1). По теореме (2.1.2) .

.

2).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

3).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

И так далее.

§2. Асимптотическое решение интегралов

Пример 1. Вычислить при х > 1.

Разложим в ряд [6]:

По теореме (2.1.2) , т.е. .

Пример 2. Вычислить при +0, , А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = А_k, k x < k + 1,
А_k = а₁ + а₂ +…+ а_k , а_k = k ^-1 . Причем .

Воспользуемся асимптотической формулой [4]

,

где - постоянная Эйлера . Введем функцию Ã(х) = lnx + .

.

Последний интеграл имеет порядок О( ln ) при +0, а предпоследний – равен -/2, так что

.

S() = I + J, где

.

Оценим интеграл J. Пусть , тогда k 1

.

Прологарифмируем , получим . Значит

Следовательно,

.

Получаем, что

.

§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда

При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:

где

В_k – числа Бернулли, В_m({x}) – многочлен Бернулли.

В_k = (-1)^k _2k. [6]

. Коэффициенты _k вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:

путем приравнивая коэффициентов:

коэффициент при х: ₀ = 1,

коэффициент при х^k:

Пример 1. Найти .

По 1.2.10 Н_k = ln k + O(1). Тогда .

Применим формулу суммирования Эйлера:

.

Пример 2. Найти

Применим формулу суммирования Эйлера:

Пример 3. Найти асимптотику при n суммы

Члены этой суммы быстро растут с ростом номера, так что главный член асимптотики равен последнему члену суммы: S(n) ~ n!, n . Действительно,

Следовательно,

Литература

1. Брейн, Н.Г. Асимптотические методы в анализе / Н.Г. Брейн. – М.: Иностранная литература, 1961.

2. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. – М.: Мир, 1998.

3. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.

4. Панченков, А.Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики / А.Н. Панченков. – Новосибирск: Наука, 1982.

5. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1987.

6. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.

Характеристики

Список файлов ВКР