85601 (589846), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вокруг нас с необычным упорством повторяются два вида симметрии. Один - это зеркальная, или билатеральная, симметрия — «симметрия листка» (сам листок, гусеница, бабочка), другой соответствует радиально-лучевой симметрии (ромашка, подсолнечник, грибы, деревья, султан паров, фонтан). Очень важно отметить, что на несорванных цветах и грибах, растущих деревьях, бьющем фонтане или столбе паров плоскости симметрии ориентированы всегда вертикально.

На этом основании можно сформулировать в несколько упрощенном и схематизированном виде общий закон, ярко и повсеместно проявляющийся в природе [33].

Все то, что растет или движется по вертикали, т. е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой («ромашково-грибной») симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии — «симметрии листка» (одна плоскость симметрии).

Этому всеобщему закону послушны не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые неподатливые камни. Известный советский кристаллограф Г. Г. Леммлейн (1901—1962) установил, что кристаллы кварца, развивавшиеся в вертикальном направлении на дне хрусталеносной пещеры, имеют внешнюю радиальную симметрию. Вместе с тем внешняя симметрия кристаллов того же кварца, образовавшихся на стенке пещеры и разраставшихся в косом или горизонтальном направлении, нередко отвечает «симметрии листка». В этом отношении кристаллы кварца ведут себя совершенно так же, как цветы. В самом деле, цветочные чашечки, обращенные кверху (ромашка, подсолнечник), имеют, как мы уже знаем, целый веер пересекающихся плоскостей симметрии. В то же время цветы, расположенные на стебле сбоку (душистый горошек, орхидея и др.), обладают, подобно листьям, только одной плоскостью симметрии [33].

Итак, даже каменный материал покоряется нашему всесильному закону. Тем более этот закон должен влиять на податливые и изменчивые формы облаков. И действительно, в безветренный погожий день мы любуемся куполовидными их очертаниями с более или менее ясно выраженной радиально-лучевой симметрией. Но вот подул ветер, т. е. добавилась сила, действующая по горизонтали, и облака вытянулись в одном направлении, образуя фигуры «рыб», «верблюдов», «горных цепей» и других тел, так часто упоминающихся на страницах литературных произведений. Все эти тела обладают одной более или менее ясно выраженной плоскостью симметрии. К сожалению, изменчивость, расплывчатость и текучесть облаков, слишком быстро меняющихся на наших глазах, мешают увидеть это. И все-таки мы ясно улавливаем и для них проявление все того же закона симметрии с билатеральными и радиально-лучевыми формами.

Для того чтобы окончательно утвердить природный закон, надо хорошо понять и объяснить его сущность. Чем вызывается всеобщий закон симметрии, которому так послушно подчиняется природа? Почему с таким упорством повторяются два типа симметрии на всем окружающем нас?

Оказывается, что все это является в основном результатом воздействия силы земного тяготения. Работу этой силы можно сравнить с игрой ребенка, который с помощью игрушечной формочки делает одинаковые песочные пирожки. Наподобие забавы маленького ребенка, но в огромных масштабах и размерах сила земного тяготения налагает свою «длань незримо-роковую» на все находящееся в поле ее действия.

Отметим, что влияние универсального закона симметрии является по сути дела чисто внешним, грубым, налагающим свою печать только на наружную форму природных тел. Внутреннее их строение и детали ускользают из-под его власти. Все растущее, борясь с придавливающей к земле силой земного тяготения, стремится, как бы обойти ее и набирает рост не прямо вверх по вертикали, а по малозаметным винтовым линиям и спиралям. В природе тяга к спиральному росту особенно четко видна на растениях.

Учет закона симметрии помогает человеку возводить прочные постройки, конструировать подвижные машины. Невыполнение требований, вытекающих из этого закона, приводило (да и сейчас приводит) к тому, что крупные, но неправильно запроектированные сооружения бывают неустойчивыми. Обратим внимание на то, что большинство предметов в комнате имеет «симметрию листка» (стул, кресло, диван) или же радиально-лучевую симметрию (круглый стол, табурет, настольная и висячая лампы). Следовательно, все эти предметы хорошо согласуются с симметрией поля земного тяготения и вполне устойчивы.

Циклоида – простейшая кривая, которую описывает точка окружности, катящейся по неподвижной прямой. Эта кривая имеет бесконечно много точек возврата, описываемых точкой, когда катящаяся кривая опускает ее на прямую, а затем вновь поднимает с прямой (рис.2)

Циклоида обладает многими замечательными свойствами и привлекла внимание не одного выдающегося математика XVII века. Циклоиду также можно получить, как огибающую (семейства прямых, семейства прямых, с которыми совпадает какой-нибудь выделенный диаметр окружности, катящейся по прямой).

Перевернем дугу циклоиды, изображенной на рисунке, выпуклостью вниз и представим себе, что это гладкая кривая на вертикальной плоскости. Тогда, в какую бы точку этой кривой мы не помещали тяжелую частицу (материальное точку), она скатиться на «дно» - достигнет наинизшей точки кривой – за одно и тоже время. Это свойство циклоиды навело величайшего голландского физика и математика Христиана Гюйгенса (1629-1695) на мысль использовать циклоиду, на которую при качании наматывалась бы нить маятника, в надежде что это позволит добиться изохронности колебаний. Если нить натянуть вдоль циклоиды, а затем отпустить, то любая точка нити опишет циклоиду. Гюйгенс считал, что если грузик маятника будет вынужден двигаться по дуге циклоиды, то продолжительность колебаний маятника станет одинаковой. Построенные Гюйгенсом часы (первые маятниковые часы) шли не очень точно, и от них вскоре отказались, но сама идея была необычайно остроумной.

Спирали приводили древних математиков в восторг. Мы рассмотрим спираль Архимеда и равноугольную, или логарифмическую спираль.

Под спиралью мы понимаем плоскую кривую, которую опишет точка, совершая круги и одновременно удаляясь от некоторой неподвижной точки, называемой полюсом. Спираль Архимеда, названная так потому, что Архимед описал ее в своей работе о спиралях, имеет очень простое уравнение в полярных координатах: r = aΰ.

Предположим, что муха ползет с постоянной скоростью вдоль прямой ОР, равномерно вращающейся вокруг полюса О. Тогда путь мухи на плоскости будет иметь вид спирали Архимеда. Такую спираль проще всего вычерчивать на специальной бумаге с нанесенной сеткой полярных координат (рис. 3).

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис.4 изображены первый виток и часть второго [20].

Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 5). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок будет находиться ,в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и муха был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ОN на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ОN_1, длина которого втрое меньше, чем ОN. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ОN₁ (снова циркуль!). Получим точку М. Угол AOМ и будет втрое меньше угла АОN.

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 4 она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса ОА. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение мухи в точке N складывается из двух различных движений (рис. 6); одно—по направлению стрелки со скоростью υ (см/с), а другое—вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что муха замерла на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы муха могла описать полную окружность радиуса ОN, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2π ОN. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим 2πОN/60 = πON/30, т. е. немногим более, чем 0,1 ON (π/30=3,14/30=0,105).

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ОN, равную υ (см/с), и другую, к ней перпендикулярную, равную πON/30 (см/с), остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения и вместе с тем определит направление касательной NТ к спирали в данной точке [20].

Наша следующая кривая — равноугольная, или логарифмическая, спираль — устроена хитроумнее, чем спираль Архимеда. Изучать ее первым начал Декарт (1638 г.), независимо от него с ней работал Торричелли, а в конце XVII века многие замечательные свойства логарифмической кривой, о которых сейчас пойдет речь, установил Якоб Бернулли. Эти почти мистические свойства произвели на ученого столь сильное впечатление, что он завещал высечь на своем надгробии слова: «Еаdem mutate resurgo» (измененная, я воскресаю той же).

Характеристики

Список файлов ВКР