85574 (589843), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

К XVIII в. понятие вероятности уже очень активно использовалось при решении различных задач.

Л. Эйлер (1707–1783 гг.), исследуя различные лотереи, которые предлагали Прусскому королю Фридриху II для пополнения казны государства, пользовался именно классическим определением вероятности.

1.2 Появление классического определения понятия вероятности

П. Лаплас (1749–1827 гг.) в своих лекциях под названием «Опыт философии теории вероятностей» вводил следующее классическое определение вероятности: вероятность P(A) события A равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию A, к числу всех возможных результатов испытания. В этом определении предполагается, что отдельные возможные результаты испытания равновероятны [1,2].

Этому определению вероятности Лаплас придал субъективный смысл, введя принцип недостаточности или отсутствия оснований. Этот принцип состоит в том, что если вероятность события неизвестна, то мы для её значения назначаем некоторое число, которое нам представляется разумным. В случае, если мы имеем несколько событий, которые составляют полную систему, но не знаем вероятности каждого события в отдельности, то мы считаем, что все эти события равновероятны.

Магистр философии Сигизмунд (Зигизмунт) Ревковский (1807–1893 гг.) в 1829/30 г. впервые в России стал читать курс теории вероятностей. Вероятность он называл мерой надежды, величиной надежды и давал ей классическое определение.

Н.И. Лобачевский серьёзно занимался теорией вероятностей. В своей работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» он определяет вероятность, следуя Лапласу: «под словами вероятность разумеют содержание числа благоприятных случаев к числу всех случаев вместе». Равновозможность случаев, очевидно, подразумевалась Лобачевским.

Профессор математики Московского университета Зернов Н.Е. (1804–1862)

в своей речи «Теория вероятностей, с приложением преимущественно к смертности и страхованию», которая была издана в 1843 г., ввёл определение вероятности ( ) и любопытное определение понятия относительной вероятности.

«Вероятность событий, рассматриваемых в таком виде, как будто прочие события совсем не имели места, называется вероятностью относительного. Относительная вероятность какого-либо события равна частному, происшедшему от деления самостоятельной вероятности того же события на сумму сей последней вероятности и противоположной ей, также самостоятельной».

Это определение сопровождается примером. В сосуде имеется 3 красных, 1 чёрный, 2 белых шара. Вероятность вытащить красный шар ; ; – это всё вероятности самостоятельные. Держат пари относительно появления белого или чёрного шара, не обращая внимания на красные. Вероятность выиграть пари на белом шаре – , на чёрном – . Это, по Зернову, относительные вероятности. Для них справедливы соотношения:

; .

Даже на этом примере видно, что понятие относительной вероятности излишне (можно рассматривать, что в урне только 2 белых и 1 чёрный шар).

Крупным представителем русской теории вероятностей был М.В. Остроградский. В своей статье «О страховании», опубликованной в журнале «Финский вестник» в 1847 г., Остроградский трактует понятие вероятности с субъективных позиций, как меру уверенности познающего субъекта [1].

Он подробно говорит о том, что вероятность есть мера нашего незнания, что это субъективное понятие, что у вероятности в субъективном мире нет никакого соответствия, что весь мир детерминистичен и случайного в нём нет, есть только то, что мы не знаем или не познали, которое мы и называем случайным.

«Если явление совершенно зависит от нескольких других явлений или случаев, из которых одни могут его произвести, другие ему противны, и если притом все эти случаи таковы, что для нас, мы повторяем, для нас, нет причины одни из них предпочитать другим, то вероятность ожидаемого явления измеряется дробью, которой числитель равен числу случаев, доставляющих явление, – а знаменатель числу всех случаев». Это утверждение совпадает с так называемым классическим определением Лапласа с толкованием равновозможности, как недостаточности оснований давать предпочтение одним событиям перед другими. Рассматривается пример. В урне находится 5 шаров (3 белых и 2 чёрных), из неё извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар будет белым? Относительно этого примера Остроградский пишет: «Пять шаров находятся в вазе; нет никакой причины думать, что один из них попадёт в руку скорее, нежели другой. Говоря, нет никакой причины, разумеем, что её нет для нас, – она есть, но совершенно нам неизвестна.… И как мы не можем дать одному шару преимущество пред другим, то все шары представляют для нас случаи равновозможные. Тот, кто знал бы расположение шаров в урне и мог бы вычислить движение вынимающей руки, тот сказал бы наперёд, какой именно выйдет шар, – для него не было бы вероятности.

Если бы для нас, в самом деле, не было причин вынуть такой-то шар, а не другой, тогда появление шара было бы действительно невозможно, как невозможно действие без причины.

Мы повторяем, что вероятность и одинаковая возможность случаев, и мера вероятности существуют только для нас. Для существ же всеведущих, т.е. имеющих все сведения обо всех явлениях, вероятность не может иметь не только меры, но и никакого значения.

Это высказывание является типичным высказыванием в духе механического детерминизма, который был в то время широко распространён в теории вероятностей.

1.3 Первые попытки введения аксиоматического определения понятия вероятности

П.Л. Чебышев (1821–1894 гг.) был создателем и идейным руководителем петербургской математической школы. Чебышев сыграл крупную роль в развитии многих разделов математики, в том числе теории вероятностей. В своей магистерской диссертации в первой главе он вводит понятие вероятности. Для этого он, прежде всего, определяет равновозможные события: «Если из определённого числа различных событий при известных обстоятельствах одно необходимо должно случиться, и нет особенной причины ожидать какого-либо из этих событий преимущественно пред другими, то такие события отличаем названием случаев равновозможных». Нельзя сказать, чтобы это определение было достаточно чёткое.

Если из n случаев m имеют следствием некоторое событие, то мерой вероятности этого события, которое называют вероятным, принимают , т.е. «отношение числа равновозможных случаев, благоприятных для события, к числу всех равновозможных случаев».

А.А. Марков (1856–1922 гг.) был ближайшим учеником и лучшим выразителем идей Чебышева. В своей работе «Исчисление вероятностей» Марков давал классическое определение вероятности, но к определению равновозможности («Два события мы называем равновозможными, если нет никаких оснований ожидать одного из них предпочтительно перед другим. Несколько событий мы называем равновозможными, если каждые два из них равновозможны») он делал следующее примечание: «По моему мнению, различные понятия определяются не столько словами, каждое из которых может, в свою очередь, потребовать определения, как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно». Определение понятия вероятности выглядит так:

«Вероятностью события называется дробь, числитель которой представляет число равновозможных случаев, благоприятных этому событию, а знаменатель–число всех равновозможных случаев, соответствующих вопросу». [1,2]

В своей книге «Теория вероятностей» С.Н. Бернштейн попытался ввести определение понятия вероятности аксиоматическим способом.

Из аксиомы сравнения вероятностей и аксиомы о несовместимых событиях Бернштейн делает следующий вывод: «Если событию X благоприятствуют m случаев из общего числа всех n единственно возможных, несовместимых и равновероятных случаев, то вероятность события X зависит только от чисел m и n (а не от природы рассматриваемого опыта), т.е. вероятность X=F (m, n), где F (m, n) есть некоторая определённая функция».

Но, этим аксиомам удовлетворяет только функция вида F( ), причём–это возрастающая функция дроби . Любую такую функцию F( ) можно принять за вероятность X. Общепринято считать F( )= . Это и есть вероятность события X в высказанных условиях, а точнее классическое определение вероятности.

С уверенностью можно сказать, что определение понятия вероятности лежит в основе любой аксиоматической системы теории вероятностей. На недостатки классического определения вероятности указывали давно. Были видны и недостатки субъективной трактовки вероятности, идущей от Лапласа. Критику этих недостатков встречали доброжелательно. Наиболее широкое распространение получили работы в этом направлении немецкого учёного Р. Мизеса (1883–1953 гг.), который из гитлеровской Германии эмигрировал в США, где он возглавил Институт прикладной математики. Мизес является основателем так называемой частотной концепции в теории вероятностей.

Основным понятием в частотной теории Мизеса является понятие коллектива. Под коллективом понимается бесконечная последовательность k-одинаковых наблюдений, каждое из которых определяет некоторую точку, принадлежащую заданному пространству конечного числа измерений. Говорить о вероятности, по Мизесу, можно только тогда, когда существует эта определённая совокупность событий. Коллектив, по Мизесу, "…должен удовлетворять следующим двум требованиям:

1. относительные частоты появления определённого события в последовательности независимых испытаний имеют определённые предельные значения;

2. предельные значения, о которых говорится в первом требовании, остаются неизменными, если из всей последовательности выбрать любую подпоследовательность.

Приняв за основу тот факт, что вероятность и частота – связанные между собой величины, Мизес определяет вероятность как предельное значение частоты: «Обосновано предположение, что относительная частота появления каждого единичного наблюдаемого признака стремится к определённому предельному значению. Это предельное значение мы называем вероятностью».

Но на самом деле никакого обоснованного предположения у нас нет. Мы никогда не можем знать, имеет ли данная частота предел или нет, хотя бы уже потому, что для этого пришлось бы произвести бесконечное число опытов. Это определение несостоятельно математически, так как мы не можем указать функциональной зависимости между количеством испытаний n и частотой появления событий , где m-количество появлений события, а, не указав такой зависимости, мы не можем вычислить предел, , который принят за вероятность.

Крупнейшие представители теории вероятностей никогда не были приверженцами частотной школы, а приверженцы этой школы не получили существенных результатов в теории вероятностей.

Характеристики

Список файлов ВКР