85574 (589843), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Попыток обосновать теорию вероятностей было достаточно много. Например, итальянский математик Б. Финетти выдвинул субъективное толкование вероятности. Таким подходом к вероятности он пытался преодолеть противоречия, которые возникли и в классической теории вероятностей и в частотной школе Мизеса. По Финетти вероятность является чисто субъективной величиной. Каждый человек по-своему оценивает вероятность того или иного события.

Несколько позже Джеффрис разрабатывал понятие вероятности как степени правдоподобия. Впервые эта концепция была выдвинута Кейнесом в 1921 г. По этой теории каждое предложение имеет определённую вероятность. Вероятностям такого рода нельзя дать частотной интерпретации. Разработка теории степеней правдоподобия продолжается некоторыми математиками и в наши дни.

1.4 Появление аксиоматического определения понятия вероятности

На сегодняшний день закрепилось определение понятия вероятности данное А.Н. Колмогоровым в книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.) аксиоматически.

Уже были вскрыты глубокие аналогии между понятиями теории вероятностей и понятиями метрической теории функций. Были установлены аналогии между множеством и событием, мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием и др.

Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений, что и было выполнено в книге Колмогорова. После этой аксиоматизации теория вероятностей заняла равноправное место среди других математических дисциплин.

Рассмотрим аксиоматику Колмогорова.

Пусть имеются наблюдения или испытания, которые хотя бы теоретически допускают возможность неограниченного повторения. Каждое отдельное испытание может иметь тот или иной исход в зависимости от случая. Совокупность всех этих возможных исходов образует множество E, которое является первым основным понятием аксиоматики. Это множество E называется множеством элементарных событий. Что из себя представляют события, являющиеся элементами этого множества, для дальнейшего логического построения совершенно безразлично, как безразлично для аксиоматического построения геометрии, что мы будем понимать под словами «точка», «прямая» и т.п. Только после такого аксиоматического построения теория вероятностей допускает различные интерпретации, в том числе и не связанные со случайными событиями. Любое подмножество множества E, т.е. любую совокупность возможных исходов, называют событием. Или другими словами: случайными событиями называются элементы множества F подмножеств из E. Далее рассматриваются не все события, а только некоторое тело событий. Теория вероятностей занимается только теми событиями, частота которых устойчива. Это положение в аксиоматической теории Колмогорова формализуется таким образом, что каждому событию, которое мы рассматриваем, ставится в соответствие некоторое положительное число, которое называется вероятностью данного события. При этом абстрагируются от всего того, что помогало сформулировать это понятие, например, от частоты. Это даёт возможность интерпретировать вероятность не только вероятностным способом. Тем самым значительно расширяются возможности вероятностей.

Сформулируем аксиомы Колмогорова [1,5].

1. Если случайные события A и B входят в состав F, то события A или B, A и B, не A и не B также содержатся в F.

2. F содержит в качестве элементов множество E и все отдельные его элементы.

3. Каждому элементу A из F поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число P(A), называемое вероятностью события A.

4. P(E)=1.

5. Если A и B не пересекаются и принадлежат F, то P (A+B)=P(A)+P(B). Для бесконечных множеств F имеется ещё одна аксиома, которая для конечных множеств является следствием пяти приведённых аксиом.

6. Если пересечение последовательности событий пусто, то .

Аксиоматика Колмогорова способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая дисциплина.

Проследив динамику развития и формирования понятия вероятности можно сделать вывод, что оно вырабатывалось сложными путями. Математики и философы, политики и просто увлечённые теорией вероятностей учёные пытались облечь понятие вероятности в конкретную форму. Давая правильные и ошибочные определения понятию вероятности, они маленькими шагами продвигались к верному решению этого вопроса. Но даже в хорошо и правильно сформулированных вариантах классического определения вероятности можно обнаружить пробелы и упущения. Например, почти во всех данных вариантах классического определения отсутствует условие конечности числа равновозможных событий, т.е. условие, что . Возможно это условие не оговаривалось, но подразумевалось. С построением системы аксиом для определения понятия вероятности задача некоторой несостоятельности классического определения вероятности была решена. Однако наблюдаются попытки дать трактовку вероятности с более широких позиций, в том числе и с позиций теории информации.

2. Динамика развития понятия математического ожидания

2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания

Одним из первых приблизился к определению понятия математического ожидания Д. Кардано в своей работе «Книга об игре в кости». Он определил условия безобидной игры, которые можно увидеть на следующем примере Кардано: бросаются две игральные кости. «Если, стало быть, кто-либо заявит, что он желал бы получить 1, 2 или 3, то ты знаешь, что для этого имеется 27 шансов, а так как вся серия состоит из 36, то остаётся 9 бросаний, в которых эти числа очков не выпадут; таким образом, эти числа будут находиться в тройном отношении. Следовательно, при четырёх бросаниях три выпадения будут благоприятны 1, 2 или 3, и только один раз не выйдет ни одного из трёх указанных чисел очков. Если тот, кто ждёт выпадения одного из трёх указанных чисел очков, поставит три асса (древнеримские медные монеты), а другой один, то сначала первый выиграет трижды и получит три асса, а затем второй выиграет один раз и получит три асса; таким образом, в общем итоге четырёх бросаний шансы их всегда сравняются. Стало быть, такие условия расчёта в игре – правильные; если же второй из них поставит больше, то ему придётся состязаться в игре на неравных условиях и с ущербом для себя; а если он поставит меньше, то с барышом.» Однако Кардано понимает, что эти утверждения справедливы только тогда, когда игра будет продолжаться достаточно долго [1].

2.2 Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие

Обратимся к работе Х. Гюйгенса «О расчёте в азартных играх». Книга состоит из введения и 14 предложений. Рассмотрим первые три предложения [1].

Предложение 1: «Если я имею равные шансы получения a или b, то это мне стоит «.

Предложение 2: «Если я имею равные шансы на получение a, b или c, то это мне стоит столько же, как если бы я имел .

Предложение 3: «Если число случаев, в которых получается сумма a, равно p и число случаев, в которых получается сумма b, равно q, и все случаи одинаково легко могут произойти, то стоимость моего ожидания равна .

По существу Гюйгенс здесь так определяет математическое ожидание. Он фактически впервые вводит понятие математического ожидания и использует его. Математическое ожидание является обобщением понятия средней арифметической. Средняя арифметическая широко применялась в торговле и промышленности для определения средних цен, средней прибыли и т.п.

Терминология Гюйгенса в теории вероятностей несёт на себе отпечаток коммерческой терминологии. Он считает, что математическое ожидание – это цена шанса на выигрыш в безобидной игре и приходит к выводу, что справедливая цена – есть средняя цена. Он вычисляет «за какую справедливую цену я мог бы уступить своё место в игре другому». Сам Гюйгенс не называет математическое ожидание ожиданием, оно у него фигурирует как стоимость шанса. Впервые термин «ожидание» появляется в переводе работы Гюйгенса Францем ван Схоутеном.

Работа Х. Гюйгенса оказала большое влияние на Я. Бернулли. К предложениям 1, 2 и 3 Гюйгенса Бернулли делает обширное примечание.

«Автор этого трактата излагает …в этом и двух следующих предложениях основной принцип искусства предположений. Так как очень важно, чтобы этот принцип был хорошо понят, то я попытаюсь доказать его при помощи исчислений более обычных и более доступных всем, исходя исключительно из той аксиомы, или определения, что каждый должен ожидать или предполагает ожидать столько сколько он неминуемо получит.

Слово «ожидание» здесь не должно пониматься в его обычном смысле, согласно которому «ожидать» или «надеяться» относится к событию наиболее благоприятному, хотя может произойти наихудшее для нас; нужно понимать под этим словом надежду, которую мы имеем на получение лучшего, уменьшенную страхом худшего. Так что стоимость нашего ожидания всегда означает нечто среднее между лучшим, на что мы надеемся, и худшим, чего мы боимся…»

После рассмотрения предложения 3 Бернулли отмечает следующее: «Из рассмотрения …очевидно, что имеется большое сходство с правилом, называемым в арифметике правилом товарищества, которое состоит в нахождении цены смеси, составленной из определённых количеств различных вещей с различной ценой. Или, скорее, что вычисления являются абсолютно одинаковыми. Так, подобно тому, как сумма произведений количеств смешиваемых веществ на их соответственные цены, разделённая на сумму веществ, даёт искомую цену, которая всегда находится между крайними ценами, также сумма произведений случаев на соответственно приносимые ими выгоды, разделённая на число всех случаев, указывает стоимость ожидания, которая вследствие этого всегда является «средней между наибольшей и наименьшей из этих выгод».

Это достаточно хорошее объяснение математического ожидания и его связи со взвешенной средней арифметической [1].

В середине и во второй половине XVIII в. многие учёные занимались вопросами связанными с теорией вероятностей. Прежде всего, это относится к математикам, из которых можно выделить Д. Бернулли (1700–1778 гг.). Наиболее известной работой Д. Бернулли по теории вероятностей является «Опыт новой теории меры случая» (1738 г.), в которой он вводит понятие морального ожидания [2]. Однако, несмотря на то, что в дальнейшем многие учёные разрабатывали это понятие оно не прижилось в теории вероятностей. Д. Бернулли вводит правило подсчёта математического ожидания, которое он называет основным правилом: «Значение ожидаемой величины получается путём умножения значений отдельных ожидаемых величин на число случаев, в которых они могут появиться, и последующего деления суммы произведений на сумму всех случаев, при этом требуется, чтобы рассматривались те случаи, которые являются равновозможными между собой» [1, 2]. Это правило полностью соответствует определению математического ожидания дискретной случайной величины.

.

Здесь -значения отдельной i-ой ожидаемой величины,

-число случаев в которых может появиться i-ая ожидаемая величина,

n-число всех случаев.

Мы видим, что определение математического ожидания дискретной случайной величины окончательно сформировалось к середине XVIII в. и активно использовалось при решении различных задач. Однако понятие математического ожидания иногда считали недостаточным. Поэтому были попытки ввести понятие морального ожидания (нравственное ожидание), которое связано с «выгодой, зависящей от личных условий». Несмотря на то, что разработкой понятия морального ожидания занимались многие учёные (Д. Бернулли, Ж.Л. Бюффон, В.Я. Буняковский, Н.Е. Зернов, Лаплас, Пуассон, Лакруа), это понятие не закрепилось в науке.

Можно сделать вывод, что понятие математического ожидания преодолело сложный путь чтобы стать одним из главных и основных понятий в теории вероятностей.

3. Закон больших чисел

3.1 Первоначальное осмысление статистической закономерности

Закон больших чисел занимает одно из центральных мест в теории вероятностей. До недавнего времени проблема закона больших чисел не была окончательно решена. Рассмотрим динамику развития этого закона.

Одним из первых к пониманию статистической закономерности и закона больших чисел подошёл Кардано. Относительно своего заключения о 6 возможностях получить одинаковые числа очков на двух костях и 30 возможностях – разные, он пишет: «Целая серия игр (36 бросков) не даёт отклонения, хотя в одной игре это может случиться…, при большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению» [1].

Здесь Кардано утверждает, что при малом количестве наблюдений частота может отклоняться довольно сильно от доли, или, другими словами, – от вероятности; при большом числе испытаний это отклонение будет незначительно.

3.2 Появление теорем Бернулли и Пуассона – простейших форм закона больших чисел

Я. Бернулли писал: «…И что не дано вывести a priori то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т.е. из многократного наблюдения результатов…».

Бернулли утверждает, что если в азартных играх всегда можно посчитать число случаев, а сами случаи встречаются одинаково легко, то в других явлениях в природе и обществе ни то ни другое не имеет.

Характеристики

Список файлов ВКР