85498 (589837), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим X A, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, x y для любого x X; если также x z для любого x X, то z Y и, следовательно, y z. Поэтому y = sup X. ▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I, ) называется направленным, если для любых i, j I существует такой элемент k I, что i k, j k, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

1. Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

2. Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i) (ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)

(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент b a, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу

(X) = ∩{Y D | Y X}.

Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий

D = {X A | (X) = X}.

Доказательство:

∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | Y X}. Докажем, что  – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда

(X) = X X D, (1)

так как (X) D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания  (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть

D = {X A | (X) = X}. (2)

Докажем, что D – система замыканий. Если (X_i)_{i I} – произвольное семейство в D и ∩X_i = X, то X X_i; следовательно, по J. 1. (X) (X_i) = X_i для всех i, и поэтому

(X) ∩X_i = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть X D. Таким образом, с помощью  мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D  взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий,  – оператор, определенный равенством (X) = ∩{Y D | Y X} для всех X A, и D ' – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2), а  ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{Y D | Y X}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором  ', и, следовательно,

(X) = X  '(X) = X. (3)

В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что  '(X) = (X). Но X (X) и, применяя  ' получаем  '(X)

 '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (X_i)_{i I} в D, то множество ∩X_i будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах X_i, а ∩{Y D | Y X_i для всех i I} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества X_i.

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, n N {0}.

Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из Aⁿ в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a₁; …; a_n} Aⁿ операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a₁; …; a_n) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).

Если n = 0, то a⁰ – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a⁰ в некоторый элемент ω(a⁰) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество B A называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ω Ω, n 1, и любых а₁, а₂, …, а_п B должно быть

ω(а₁, а₂, …, а_п) B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a , тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций ω Ω.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D – произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Ω и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.

Для доказательства обозначим через (X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a₁, …, a_n A, где n N, и произвольному элементу b ({a₁, …, a_n}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную следующим правилом:

ω(x₁, …, x_n) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.

Пусть _Ω(X) = – оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = _Ω(X).

Пусть X A и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c₁, …, c_m}. Тогда (X) _Ω(X) по определению (4) алгебраических операций ω.

C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a₁, …, a_n (X) и для любой n-арной операции ω Ω ω(a₁, …, a_n) ({a₁, …, a_n}) (X) = (X). Поэтому (X) является подалгеброй алгебры и, значит, _Ω(X) (X).

Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и _Ω(X) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

(X) = (X ') = _Ω(X ') = _Ω(X),

где X ' пробегает конечные подмножества множества X.

Характеристики

Список файлов ВКР