85483 (589833), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х Н₁, то , g_k C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂ = Р₁Р₂ = Р₁ =

= Р₁ = = ( ) =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂ х L

dimL = 2, так как Н_i,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С² Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к (0, ), φ_к ≠ φ_i при к≠i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н → Н_i,j , Рφ_к: Н → С² Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 ( Рφ_к), (1.2.)

P₁ = P_1,0 P_1,1 ( ( I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 ( I_к )) (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i,j = n_i,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к (0, ):

Н΄ = Нφ_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ_к, у которых одно φ_к, получим изоморфизм

Нφ_к … Нφ_к ≈ С² Н_к , где Нφ_к n_к экземпляров, dim(Нφ_к … Нφ_к )=2n_к dim(С² Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С² Н_к))

Пусть π_i,j – сужение π на Н_i,j ( i, j= 0,1), π_к – сужение π на Нφ_к (к = 1,…, m), то есть π_i,j и π_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0π_0,0 n_0,1π_0,1 n_1,0π_1,0 n_1,1π_1,1 ( n_кπ_к) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 ( Рφ_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1 ( ( I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 ( I_к ))

Причем n_1,0π_1,0(р₁) = P_1,0 , n_0,1π_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1π_1,1(р₁) = P_1,1 , n_0,0π_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL L, но тогда ВL АL L, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть L Н: АL L и ВL L, то из включения АВL АL L следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L Н такое, что Р₁L L, Р₂L L. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)L L, ВL = (2Р₂ – I)L L, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = L L, Р₂L = L L, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^iφ (U), то e^-iφ (U).

Доказательство.

1) Если e^iφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f|| = 1 и Uf = e^iφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-iφ принадлежит спектру U.

2) Если e^iφ (U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iφf_n || = || UАf_n - e^iφ A f_n || = || U^-1Аf_n - e^iφ A f_n || → 0 при n → ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iφ (U^-1), следовательно e^-iφ (U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² – 2I + U^-2) = (U² – 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^iφ+ e^-iφ = c, e^iφ- e^-iφ = ±d.

1. Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^iφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х H.

2. Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^iφ= и e^-iφ= φ (0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iφ (или e^-iφ), Н_eiφ = {f H | Uf = e^iφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^iφf, U(Аf) = e^iφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ= dimН_-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^iφ, e^-iφ} φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С² L₂((0, ), dρ_к))) (2.4.)

где ρ₁ > ρ₂ >… ρ_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1 ( ( I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 ( I_к )) (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂ отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P₂ в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξ Н поставим в соответствие подпространство Н_ξ Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х А. Ограничения операторов из π(А) на Н_ξ является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ, а соответствующую меру на Т через μ_ξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ_ξ > μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ).

Если η Н_ξ, то Н_η Н_ξ, тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ. Пусть Е Т и μ_ξ (Е) = 0, тогда μ_η (Е) = 0, следовательно μ_ξ > μ_η, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нη_к. Пусть {ζ_i} – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1. ξ_к+1 – максимальный вектор в ( Нξ_i)^┴,

2. d (ζ_к, Нξ_i) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξ_к такое что ξ_к>ξ_к+1 и μ_к>μ_к+1 .

Характеристики

Список файлов ВКР