47650 (588494), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. (2.2)

Поскольку:

где -диаметр порошковой проволоки, м;

-толщина оболочки, м,

то . Тогда коэффициенты А и С_об будут вычисляться по формулам:

, (2.3)

. (2.4)

Если потерями тепла с боковой поверхности порошковой ленты пренебречь, то коэффициенты А и С_об будут такими:

,

Если, кроме того, используется порошковая проволока без изолирующей прослойки, то коэффициент А будет вычисляться следующим образом:

. (2.5)

Из уравнения (2.5) можно найти плотность тока:

. (2.6)

2.2 Модель нагрева сердечника порошковой проволоки

Для решения уравнения (1.3) с подстановками формул (1.4) - (1.9) необходимо знать зависимость температуры сердечника от времени t или от температуры оболочки Т_об.

Для установления такой зависимости необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности Лапласа:

, (2.7)

где - коэффициент теплопроводности сердечника, м²/с; -оператор Лапласа.

Следовательно имеем систему двух дифференциальных уравнений (1.3), (2.7) с двумя неизвестными функциями времени Т_об и Т_с. Решение данной системы упрощается вследствие того, что по экспериментальным данным известен закон изменения температуры Т_об на вылете:

, (2.8)

где длина вылета, м;

скорость плавления (подачи) порошковой проволоки, м/с;

- неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от режима наплавки.

Зависимость (2.8) будет задавать краевые условия для дифференциального уравнения (2.7). Введем цилиндрическую систему координат, началом отсчета в которой является токоподвод, осью аппликат - ось порошковой проволоки, ее положительное направление совпадает с направлением подачи проволоки. Выбор нуля полярного радиуса несущественен. Оператор Лапласа в этой системе координат примет вид:

.

Для элементарного участка длиной можно допустить, что распределение температуры по длине равномерно. Тогда:

.

Таким образом, для сердечника порошковой проволоки уравнение теплопроводности (2.7) в цилиндрических координатах будет иметь вид:

, (2.9)

где полярный радиус.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения (2.9) при следующих краевых условиях:

; (2.10)

; (2.11)

где ,

; (2.12)

. (2.13)

В формуле (2.11) 2R - это диаметр сердечника порошковой проволоки. Формула (2.12) задает условие ограниченности температуры сердечника. Формула (2.13) задает условие симметричности, которое означает, что теплообмен между поверхностями сердечника и оболочки проволоки происходит со всех сторон одинаково. Это условие отражает тот факт, что форма сердечника представляет собой прямой круговой цилиндр и что температура нагрева не зависит от полярного угла, а изотермами сердечника являются поверхности вращения.

Для решения уравнения (2.9) используем новые переменные-безразмерные критерии:

безразмерное время нагрева или критерий Фурье:

; (2.14)

безразмерная скорость нагрева или критерий Предводителева:

; (2.15)

относительный радиус:

; (2.16)

относительная безразмерная температура нагрева сердечника:

; (2.17)

Подстановка этих переменных в уравнение (2.9) с соответствующими краевыми условиями (2.10) - (2.13) приводит к уравнению:

, (2.18)

с краевыми условиями

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Представим функцию в виде суммы общего решения уравнения (2.18) и частного решения

.

Функции и должны удовлетворять уравнению (2.18) при их подстановке в отдельности вместо .

Для нахождения общего решения решим уравнение (2.18) методом разделения переменных [16]. Для этого решение будем искать в виде:

, (2.23)

где функция только от ;

функция только от F₀.

Подстановка (2.23) в уравнение (2.18) дает:

.

От уравнения в частных производных можно перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению:

Откуда получим

или

. (2.24)

Уравнение (2.24) представляет собой известное в математической физике уравнение Бесселя [17], решение которого представляется специальными функциями:

, (2.25)

где модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; k₀ - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Функции Бесселя не выражаются не через элементарные функции, но они протабулированы с большой точностью [18], что позволяет их использовать в расчетах.

Используя краевые условия (2.20), (2.21), найдем постоянные коэффициенты и . При функция:

.

Подставляя в (2.21), получим:

.

Поскольку , следовательно,

Тогда для любого значения . Поскольку , то условие (2.21) выполнено.

Используя условие (2.20), имеем , т. е . Тогда на основании (2.25) . Откуда:

.

Подставляя полученные значения и в выражение (2.23), получим:

. (2.26)

Частное решение уравнения (2.18) будем искать в виде ряда Фурье:

, (2.27)

гдеA_n=B_nI₀ (_n), B_n- постоянные коэффициенты; I₀-функция Бесселя первого рода нулевого порядка; _n-корень характеристического уравнения I₀ (_n) =0. Значения корней _n для n=1…40 вычислены с большой точностью и сведены в таблицы [18]. Функция I₀ () протабулирована [18, 19].

Из уравнения (2.22) имеем:

.

Тогда начальное условие (2.18) для функции V (0,) будет таким:

. (2.28)

А выражение (2.27) при F₀=0 примет вид:

. (2.29)

Коэффициент В_n ряда Фурье (2.27) находится по формуле

, (2.30)

где I₁ - функция Бесселя первого рода первого порядка.

Подставим выражение для V (0,) (формула (2.28)) в формулу (2.30) и получим:

,

или

. (2.31)

При интегрировании воспользуемся известными интегралами Бесселя [19]:

;

. (2.32)

Итак, будем иметь:

. (2.34)

Подставляя полученные значения интегралов (2.33), (2.34) в выражение (2.31) для , получим:

Тогда для коэффициента получим выражение:

,

а частное решение (2.27) будет иметь вид:

. (2.35)

Подставляя значение из формулы (2.26) и значение из формулы (2.35) в выражение для , получим:

. (2.36)

Это выражение позволяет рассчитать относительную безразмерную температуру в любой точке сердечника порошковой проволоки, находящейся на вылете.

2.3 Анализ решения дифференциального уравнения теплопроводности

1. Выполним анализ решения уравнения (2.36). 1 Общее решение уравнения теплопроводности:

пропорционально безразмерной температуре оболочки, т.е. граничному условию (2.20). Это слагаемое можно назвать регулярной составляющей безразмерной температуры .

2. Частное решение уравнения теплопроводности:

отражает внутреннее тепловое состояние сердечника перед началом нагрева, т.е. начальное условие (2.19). Это слагаемое можно назвать нерегулярной составляющей безразмерной температуры .

3. Слагаемые и по разному зависят от времени нагрева (т.е. от числа Фурье F₀). Регулярная составляющая пропорциональна и увеличивается с ростом F₀ по экспоненциальной зависимости, т.е. очень быстро. Нерегулярная составляющая пропорциональна , напротив, с ростом F₀ очень быстро уменьшается. Следовательно, существует такое значение числа Фурье, за которым нерегулярная составляющая становится пренебрежительно малой. Эта граница считается началом наступления регулярного режима нагрева сердечника. Регулярным режимом можно считать нагревание, когда нерегулярная составляющая составляет не более 5% регулярной, т.е.:

. (2.37)

4. На оси порошковой проволоки, т.е. при выражение (2.36) примет вид:

. (2.38)

Из (2.37) следует, что температура нагрева оси проволоки обладает двумя характеристиками:

она минимальна в данном элементарном участке, т.к

она наиболее зависит от , т.е. от начального распределения температур, поскольку .

Пользуясь формулой (2.38) можно, задаваясь скоростью нагрева (т.е. числом ), вычислить наступление регулярного режима на оси порошковой проволоки, а, следовательно, для всего вылета:

. (2.39)

Числовые значения членов ряда в выражении (2.39) быстро уменьшаются с возрастанием номера члена, так как при этом возрастает значение _n. Поскольку ряд знакопеременный, то он быстро сходится. Кроме того, для больших значений критерия Фурье F₀ ряд сходится быстрее, чем для малых. Уже при F₀ = 0,2 каждый последующий член ряда составляет не более 2-3% предыдущего. Поэтому можно учитывать лишь первый член этого ряда. Тогда от неравенства (2.39) можем перейти к выражению:

. (2.40)

Характеристики

Список файлов ВКР