100604 (575930), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

3. Провести экономический анализ оптимального процесса по последней симплекс-таблице.

4. Найти условие устойчивости структуры оптимального решения по отношению к изменениям: а) ресурсных входных потоков, б) коэффициентов целевой функции Cj.

5. Определить оптимальные потоки продукции, минимизирующие затраты производства при дополнительном условии выпуска продукции не меньше 45 % от максимально возможного (L1 max).

Примечание: 1. Задача решается аналитическим методом с применением симплекс-таблиц. 2. Работу сопровождать подробными записями и в выводах приводить экономическое наполнение полученных данных.

Решение:

Входной поток – материалы 800 д.е. / день. Выходной поток – готовая продукция. В зависимости от объемов производства.

Составим математическую модель производства. Пусть х₁ , х₂ , х₃ – объемы производства изделий П1, П2 и П3 соответственно. Тогда можно сформулировать ограничения на выпуск продукции исходя из ограниченности ресурсов:

2 х₁ + 8х₂ + 5х₃ ≤ 800

8х₁ + 5х₂ + 8х₃ ≤ 1000

3х₁ + 3х₂ + 6х₃ ≤ 2000

х₁ ≥ 0 ; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0

L1 = 75х₁ + 65х₂ + 25х₃ → max

Сиcтема отражает ограничения на потребляемые ресурсы. А целевая функция показывает стоимость произведенной продукции, которую надо максимизировать.

Для решения задачи симплекс-методом представим систему в виде таблицы. Базис задачи составляют дополнительные переменные x₄ , x₅ , x₆ .

Таблица 2.2

Найдем ключевую переменную. Ключевой будет переменная, у которой в строке целевой функции минимальное значение, т.е. x₁ .

Теперь найдем ключевую строку. Ключевой строкой будет та, у которой отношение значения в столбце ресурсов к элементу ключевого столбца будет минимальным. Найдем эти отношения для всех строк:

800 / 2 = 400 ; 1000 / 8 = 125 ; 2000 / 3 = 667 .

Т.о. ключевой строкой является строка x₅.

Элемент находящийся на пересечении ключевого столбца и ключевой строки называется ключевым элементом. Делим всю ключевую строку на ключевой элемент. Теперь вычитаем ключевую строку из всех оставшихся строк системы, так чтобы в ключевом столбце все элементы, кроме ключевого, были нулевыми.

Построим полученную таблицу:

Таблица 2.3

Исключаем из рассмотрения ключевой столбец (переменная x₁).

Найдем новую ключевую переменную – x₂ и новую ключевую строку:

550 / (6,75) = 81,48 ; 125 / 0,625 = 200 ; 1625 / 1,125 = 1444,44 .

Т.о. ключевой строкой является строка (x₄).

Делим всю ключевую строку на ключевой элемент. Теперь вычитаем ключевую строку из всех оставшихся строк системы, так чтобы в ключевом столбце все элементы кроме ключевого были нулевыми. Построим полученную таблицу:

Таблица 2.4

Все коэффициенты при переменных в строке целевой функции неотрицательные, это означает что достигнуто оптимальное решение. Значения переменных записаны в столбце ресурсов в той строке, на пересечении которой со столбцом переменной стоит не нулевой элемент. Получено оптимальное решение : x₁ = 74 , x₂ = 81,5 , x₃ = 0 , x₄ = 0 , x₅ = 0 , x₆=1533, максимум целевой функции

L1= 10850 (д.е.).

Проверим максимум функции:

L1 = 75 * 74 + 65 * 81,5 + 25 * 0 = 10850 д.е.

Т.е. для максимизации объема продаж в стоимостном выражении предприятие должно выпускать 74 единицы продукции П1 и 81,5 единицы продукции П2.

По последней симплекс таблице видим, что полностью израсходованы материалы и трудовые ресурсы. Оборудование может еще работать 1533 станко-часов.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого из видов в отдельности.

Составим матрицу А из элементов столбцов, соответствующих переменных x₄ , x₅ , x₆ оптимальной симплексной таблицы:

Умножим матрицу А на вектор :

где Δb₁ , Δb₂ , Δb₃ – предполагаемое изменение соответствующего вида сырья

Запишем условие неотрицательности компонент полученного вектора AB, которое будет одновременно условием устойчивости базисных оценок.

Определим при каких значениях Δb₁ , Δb₂ , Δb₃ эта система неравенств верна.

Если Δb₁ = Δb₂ = 0 , то решая систему получим Δb₃ ≥ – 1533 .

Если количество доступных станко-часов работы оборудования будет уменьшено в пределах 1533 единиц или увеличено произвольным образом, то двойственное решение системы не измениться.

Если Δb₁ = Δb₃ = 0 , то решая систему получим: – 500 ≤ Δb₂ ≤ 2003.

Если количество доступных человеко-дней будет уменьшено в пределах 500 единиц или увеличено не больше чем на 2003единиц, то двойственное решение системы не измениться.

Если Δb₂ = Δb₃ = 0 , то решая систему получим: – 550 ≤ Δb₁ ≤ 800

Если количество материалов будет уменьшено в пределах 550 единиц или увеличено не больше чем на 800единиц, то двойственное решение системы не измениться.

Проведем анализ устойчивости к изменению коэффициентов целевой функции.

Составим систему по последней симплекс таблице:

Пусть C₁ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 58,75 ≤ C₁ ≤ 29, т.е. при уменьшении цены товара П1 на 58,75 д.е. и при увеличении на 29 д.е. структура оптимального решения не измениться.

Пусть C₂ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 18,13 ≤ C₂ ≤ 235, т.е. при уменьшении цены товара П2 на 18,13 д.е. и при увеличении на 235 д.е. структура оптимального решения не измениться.

Пусть C₃ ≠ 0, а остальные равны нулю. Тогда решение системы – 58,04 ≤ C₃, т.е. при уменьшении цены товара П3 на 58,04 д.е. и при ее увеличении.

Сформулируем двойственную задачу.

Пусть у₁ , у₂ , у₃ цены (оценки) единицы ресурсов каждого типа, чтобы при заданных количествах ресурсов и стоимости изделий общие затраты на производство Z были минимальными.

2 y₁ + 8y₂ + 3y₃ 75

8y₁ + 5y₂ + 3y₃ 65

5y₁ + 8y₂ + 6y₃ 25

y₁ 0 , y₂ 0 , y₃ 0

Z = 800y₁ + 1000y₂ + 2000y₃ min

Данная система отражает ограничения на стоимость ресурсов, а целевая функция Z определяет затраты на производство, которые необходимо минимизировать.

При решении прямой задачи получена оптимальная симплекс-таблица (табл. 2.4) В нижней строке данной таблицы под дополнительными переменными x₄ , x₅ , x₆ находятся значения двойственных оценок у₁ = 2,6825 , у₂ = 9,704 , у₃ = 0.

Проверим:

min Z = YB = 800 * 2,6825 + 1000 * 9,704 + 2000 * 0 = 10850 (д.е.) = max L1

Числовая модель в случае минимизации затрат будет следующая:

L2 = 60х₁ + 15х₂ + 38х₃ → min

А в исистему уравнений добавиться еще одно ограничение (45% L_max)

2х₁ + 8х₂ + 5х₃ ≤ 800

8х₁ + 5х₂ + 8х₃ ≤ 1000

3х₁ + 3х₂ + 6х₃ ≤ 2000

75х₁ + 65х₂ + 25х₃ ≥ 4882,5

х₁ ≥ 0 ; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0

Таблица 2.5

Ключевая строка х₇ . Вносим в базис x₂ по строке х_7.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)