86385 (575074), страница 3
Текст из файла (страница 3)
→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )
→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )
На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X1 + 2X2
→ g1 + 2g2 = - b
Решая систему из двух уравнений будем иметь g2 = - 
→ X11,12 = g11,12 = 
[ - b ± 
]
→ X21,22 = g21,22 = [ - b ± 
]
Расчет закончен !
Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0
где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083
1. X11,12 = g11,12 = [ - b ± ] → X11,12 = [ 41 ± 
] = [ 41 ± 
]
→ X11 = 
, X1 = 3
X21,22 = g21,22 = [ - b ± ] → g21,22 = [ 41 ± 
]= [ 41 ± 
]
→ X21 = 19, X22 = 
→ X2 = X3 = 19
Расчет закончен !
Вывод основных формул
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D1 = - 
2. Разделим 
3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2.
4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 = 
→ (g1 - g2 ) = 
(6)
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )
→ b = - ( g1 + 2g2 ) (7)
6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1 = g1 = 
- b )
→ X11 = g11 = - b ) (8)
→ X12 = g12 = - b ) (9)
Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7. → g2 = -
→ g21 = - 
→ g22 = - 
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задача решена!
Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0
где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 313600 = 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102
313600 = 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562
-→ = 402∙72 = 702∙42 = 282∙102 = 1402∙22 =52∙562
2. Пусть h12 = 72
→ X1 = g11 = - b ) = - b) = 
→ g11 = X11 = 13, X12 = 9.
→ g21 = - = - 
= 10
→ X2,3 = g21 + h1 = 10 ± 7 → X2 = 17, X3 = 3
Задача решена!
Неприводимый случай формулы Кардана
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два мнимых сопряженных корня
X2 = ( g2 - ih), X3 = ( g2 + ih).
-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) +ih
(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – ih
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - ih - g2 – ih = - 2ih
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D1 = -
2. Разделим
3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ h2.
4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 =
→ (g1 - g2 ) = 
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
→ b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1 = - b )
→ X11 = g11 = - b )
→ X12 = g12 = - b )
7. → g2 = -
→ g21 = -
→ g22 = -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0
где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→ = 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142
Пусть h12 = 72
→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = 
= 4
→ X1 = 4
→ g21 = - = - 
= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задача решена!
Пример 10 Дано уравнение
x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙ 
= 4∙142∙ = 4∙
→ D1 = 
Пусть h12 =
→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4
→ X1 = 4
→ g21 = - = - = 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
→ X2 = 1 + 2i , X3 = 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2mn)2 + ( 3xi + b )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x3 + b )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)I обязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.
→ ( 3x1 + b ) + ( 3x2 + b ) + ( 3x3 + b ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3 b
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b.
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
(2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x12 + 3x22 ) + 2b(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12 +x22 ) + 2b( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2
→ (x1 + x2 )2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0
→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj )2 + b( xi + xj ) + с - xi∙ xj = 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0
→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеем в качестве исходного уравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 → 3x12 - 50x1 + 203 = 0 → x1,2 = ) → x1 = 
, x2 = 7.
Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X1 = X2 = 7, X3 = 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12 + 2bx1 +с = 0.
→ x1,2 = ). При равенстве трех корней имеем = 0
→ x1,2,3 = - 
.
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b. При x = x1 = x2 = x3 → 3 x = - b → x = - .
Пример 12 Дано уравнение
x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙
2. Пусть h2 =
→ = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2 → [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 = 36 → [(g1 - g2 )2 - h2 ] = ± 6
→ (g1 - g2 )2 = - 6 + = 
→ g1 - g2 = ± 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
