85988 (574966), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y². Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

• в полярной системе координат:

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1:

Используем ещё одно тождество: cos²α − sin²α = cos2α:

Делим на ρ², предполагая, что :

\

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a² = 2c²:

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.

• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.

• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

• Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства от синусоидальной спирали

• Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

• Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы .

• Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .

• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.

• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

• Радиус кривизны лемнискаты есть

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

при m = 2,

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

Формулы перехода к полярной системе координат:

Выражаем :

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y:

—- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения.

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

Находим производные по :

Подставляем в формулу радиуса:

Возвращаемся к уравнению лемнискаты:

Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:

• Натуральное уравнение кривой имеет вид

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства:

Гравитационное свойство лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.

• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.

• Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.

• Площадь полярного сектора , при :

• В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной .

• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.

• Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода:

где

• В частности, длина всей лемнискаты

Приложение

В геометрии, синусоидальная спираль — семейство кривых, определяемое уравнением в полярной системе координат:

rⁿ = aⁿcos(nθ),

где a — ненулевая константа и n — рациональное число, не равное нулю. С учетом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде:

rⁿ = aⁿsin(nθ)

Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, т. к. получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок. Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали:

• Прямая (n = −1)

• Окружность (n = 1)

• Гипербола (n = −2)

• Парабола (n = −1/2)

• Кардиоида (n = 1/2)

• Лемниската Бернулли (n = 2)

Впервые была изучена Маклореном.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)