85549 (574865), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

= 0,3714·X_i + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

Построим график аппроксимирующей функции

Рис.1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a₀x³+a₁x²+a₂x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x³–2x²–3x

Приращение функции

y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)³–2(x+Δx)²–3(x+Δx) – (4x³–2x²–3x)=

=4(x³+3x²Δx + 3xΔx² + Δx³) –2(x²+2 xΔx +Δx²)–3x–3Δx –4x³+2x²+3x=

=4x³+12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³ –2x²–4 xΔx –2Δx²–3Δx –4x³+2x²=

=12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³–4 xΔx –2Δx²–3Δx =

=(12x²–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx² + 4Δx³)

Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x²–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dx получим dy=(12x²–4 x–3)dx

Абсолютное отклонение:

Δy– dy = (12x²–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx² + 4Δx³)– (12x²–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx² + 4Δx³

Относительное отклонение:

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции , оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

Возьмем

=64

=>

Тогда

Относительная погрешность

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1)

2)

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) 2)

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)

2)

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

=>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А₁(а₁,0), А₂(а₂,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

А₁В: =>

А₂В: =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x²+y²=R²)

Решение:

y

R

0

Из уравнения окружности:

Тогда четверти круга равна:

Тогда площадь круга равна:

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=> , тогда искомая площадь:

Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x². Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y= x² =3–2x => x² +2x–3=0 => , тогда искомая площадь:

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x² и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:

Вычислить приближенное значение интеграла по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

Тогда по формуле трапеций имеем:

Точное значение

Относительная погрешность

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

Тогда по формуле трапеций имеем:

Относительная погрешность

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1)

Разделим переменные

2)

Разделим переменные

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида . Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)

Разделим обе части на xy

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)

Запишем характеристическое уравнение:

λ²–λ–6=0 => λ_1,2=3;-2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

y = C₁e^3x + C₂e^–2x

2)

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

запишем характеристическое уравнение

: λ²–6λ+9=0 => λ_1,2= 3 =>

y₀ = (C₁+ C₂x)e^3x

Запишем частное решение по виду правой части:

ŷ = C₃x²+ C₄x+ C₅

Найдем

ŷ ′ = 2C₃x–C₄

ŷ ′′ = 2C₃

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C₃ – 6(2C₃x–C₄)+9(C₃x²+ C₄x+ C₅) =9C₃x²+(9C₄–12C₃)x+(2C₃ + 6C₄+9C₅)= x²

=> C₃ = 1/9, => C₄ = 4/27, => C₅ = –10/81

y = y₀ + ŷ = (C₁+ C₂x)e^3x +

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)