85493 (574856), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
   Частные случаи:

2. sin(x) = 0, x =

3. sin(x) = 1, x =

4. sin(x) = -1, x =

5. формула для корней уравнения sin²(x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
   sin(x) = 0 если х = ;
   sin(x) = -1, если x = >;
   sin(x) > 0, если ;
   sin(x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .

2. Частные случаи:
   cos(x) = 1, x = ;
   cos(x) = 0, ;
   cos(x) = -1, x =

3. Формула для корней уравнения cos²(x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);

2. Важным моментом является знание, что:
   cos(x) = 0, если ;
   cos(x) = -1, если x = ;
   cos(x) = 1, если x = ;
   cos(x) > 0, если ;
   cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .

2. Частные случаи:
   tg(x) = 0, x = ;
   tg(x) = 1, ;
   tg(x) = -1, .

3. Формула для корней уравнения tg²(x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).

2. Важно знать, что:
   tg(x) > 0, если ;
   tg(x) < 0, если ;
   Тангенс не существует, если .

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .

2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

1. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
   a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
   при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;
   б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
   
   Рис.1 Рис.2
   Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы} и . По определению скалярного произведения векторов:
   = х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
   Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
   х₁ = R cos , y₁ = R sin , х₂ = R cos , y₂ = R sin .
   Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
   = R²cos cos + R²sin sin = R²(cos cos + sin sin ).
   С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
   = cos BOC = R²cos BOC.
   Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
   = R² cos ( - ).
   Т.к. равно также R²(cos cos + sin sin ), то
   cos( - ) = cos cos + sin sin .
   
   cos( + ) = cos( - (- )) = cos cos(- ) + sin sin(- ) = cos cos - sin sin .
   Значит,
   cos( + ) = cos cos - sin sin .

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
   
   sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin .
   Значит,
   sin( + ) = sin cos + cos sin .
   
   sin( - ) = sin( + (- )) = sin cos(- ) + cos sin(- ) = sin cos - cos sin .
   Значит,
   sin( - ) = sin cos - cos sin .

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2 , cos 2 , tg 2 , ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos² - sin² = 1 - sin² = 2 cos² - 1;
; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos² - sin² через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
   cos 2 = 1 - sin² , cos 2 = 2 cos² - 1.
   Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
   cos = 1 - 2 sin² /2, cos 2 = 2 cos² /2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что
   (2), (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
   (4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.

5. Полезно знать следующую формулу:
   .

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x² = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду .
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q , то х_{1 и} х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:

1. ;

2. ;

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
   .
   Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
   x = , y = .
   Перемножим почленно эти равенства, получаем:
   xy = = .
   Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
   .
   Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
   .
   При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀ ; f(х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
   .

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и
   .

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
   .

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и
   .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)