85489 (574855), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Р(А) = m\n.

Получено классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота

m\n = n\n = 1, т.е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота

0/ n = 0, т.е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 < или = m < или = n и, следовательно, относительная частота

0 < или = m/ n < или =1, т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченно число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так как в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.

2.3 Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то значение искомой вероятности будет одним. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В).

В тех случаях, когда вероятность события А рассматривается при условии, что произошли два других события В и С, используется условная вероятность относительно произведения событий В и С:

Р (А/ВС).

3. Формулы умножения и сложения вероятностей

3.1 Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

P_n = n!,

где n! =1*2*3… n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

Р₃ = 3! =1*2*3 = 6.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:

A^m_n = n (n-1) (n-2) … (n-m+1).

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов: А²₆ = 6*5 = 30.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

C^m_n = n! / (m! (n-m)!).

Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение, Искомое число способов: С²₁₀ = 10! / (2!*8!) = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2* 1*2*3*4*5*6*7*8 = 45.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

A^m_n = P_m* C^m_n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

3.2 Примеры вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А) =1/10.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е. А²₁₀= 10*9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (В) = 1/90.

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход: общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность:

Р (А) =1/2.

Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6*6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность:

Р (А) = 3/36 = 1/12.

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов (C⁶₁₀).

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей С⁴₇ способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можно С²₃ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: С⁴₇*С²₃.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А) = (С⁴₇*С²₃) / С⁶₁₀ = ½.

Заключение

Итак, подводя итог вышесказанному подчеркнем следующее. Случайным событием называется событие, при определенных условиях может либо произойти, либо не произойти. Эти события могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий. Так вот теория вероятностей как раз и изучает вероятностные закономерности массовых однородных событий.

Существует несколько определений вероятности. Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятностью же события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (о том что такое полная группа мы говорили ранее). Это определение имеет свой недостаток, потому что в нем подразумевается, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно, с этим и связано другое определение – статистическое, при котором события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

При вычислении вероятностей используют определенные формулы. Например, перестановки, размещения или сочетания. С помощью этих формул можно произвести многие вычисления вероятностей и решить любую задачу, что мы и сделали выше.

Список использованной литературы

1. Информатика и математика для юристов / Под ред. Х.А. Андриашина и др. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2003.

2. Виленкин И.В., Гробер В.М. Высшая математика для студентов экономических, технических и естественно-научных специальностей вузов. Ростов – на – Дону: Феникс, 2004. – 416 с.;

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов / В.Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.;

4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера и др. – М.: Биржи и банки, 1998 – 356 с.;

5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2005. – 656 с. – (Высшее образование).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)