63009 (573347), страница 2
Текст из файла (страница 2)
U11(g1+g2+pC1)-U22pC1-U44g2=Eg1
-U11pC1+U22(g3+pC1+pC2)=0
U22(g4+g5)-U44g5=0
В матричной форме система узловых уравнений примет вид
Из этой системы линейных уравнений по правилу Крамера могут быть определены операторное изображение узлового напряжения выхода четырехполюсника:
=
,
Операторная функция передачи рассматриваемого активного четырехполюсника будет равна
в виде дробно-рациональной функции:
| где |
|
|
|
| ||
|
|
=С1g1(g4+g5)
=g3g5(g1+g2)
=C1C2g5
=C1g1g5-C1g2g4+C2g1g5+C1g3g5+C2g2g52. Параметрический синтез фильтра
Сравним между собой две употребляемые формы записи передаточной функции ПФ второго порядка (см. табл. 1, формы 1, 2),
можно видеть, что
=
, 
=b1/b2, 
в результате получаем = ; 
=
=
; 
=
.
Таким образом, для определения параметров (параметрического синтеза) семи пассивных элементов (
, 
, 
–
) заданной цепи, удовлетворяющей заданным электрическим свойствам, имеем три уравнения. Недостающие уравнения получим, наложив следующие дополнительные условия. Исходя из сокращения номенклатуры номиналов элементов и в целях обеспечения относительно большого входного сопротивления каскадов положим = =
=10нФ, =
=
=1000 Ом.
Воспользуемся полученными в пункте 1 выражениями для коэффициентов 
, 
дробно-рационального представления передаточной функции через параметры элементов схемы , , – . В результате подстановки получим
Отсюда находим
R5=
R3=114 ОМ
Параметры всех элементов фильтра определены. Их конкретные значения выбраны в соответствии с рядами номинальных значений сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов.
Численные значения коэффициентов дробно-рационального представления передаточной функции =
рассчитанного ФНЧ равны:
|
|
|
|
| |
|
|
|
Нули 
и полюсы 
фильтра определим из уравнений
M(p0)= 1.013∙10-14 p0=0
N(p*)=1.299∙10-21p*2 +2.099∙10-16 p* +1.277 ∙10-10 =0
Получаем, что фильтр имеет один нуль и два комплексно-сопряженных полюса: 
=0 рад/с; 
=-80792±ј∙302950рад/с.
Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции на плоскости операторной переменной р=α+jw называется диаграммой или картой нулей и полюсов
Полюсно–нулевая карта, построенная по этим данным, представлена на рис.4.
3. Расчет частотных характеристик фильтра
Уравнение комплексной передаточной функции 
может быть получено из уравнения операторной передаточной функции при замене операторной переменной 
на мнимую частоту 
:
=
.
В свою очередь, после выделения действительных 
, 
и мнимых 
, 
составляющих числителя 
и знаменателя 
дробного выражения комплексной передаточной функции
=
=
,
легко находятся уравнения АЧХ и ФЧХ цепи:
=
=
;
=
=
-
;
=
при 
;
=
при 
, 
;
=
при , 
;
=
при 
;
=
при 
, 
;
=
при , 
.
Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим из дробно-рационального выражения его операторной функции передачи:
=
Положив = , получим выражение для комплексной передаточной функции:
= =
=
=
Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра:
=
= =
Для нахождения уравнения ФЧХ нужно найти аргумент функции :
=
= = - .
Оставаясь действительным, полином числителя
=
при любой частоте не меняет свой знак. Поэтому =0 при любой
( ≥0).
У полинома знаменателя
= 
действительная часть
=
при частоте ω>313538 рад\с меняет знак. В зависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будет определяться по разным формулам:
=
при 0≤ <313538 рад/с ( >0);
= 
при ≥313538 рад/с ( <0).
=
при =313538 рад/с
Таким образом, уравнение ФЧХ будет выглядеть следующим образом
=-
при 0≤ <313538рад/с
=
при >313538рад/с
=
при =313538 рад/с
По полученным уравнениям (задавая с определенным шагом значения 
и вычисляя соответствующие значения =2π ) можно построить графики АЧХ 
и ФЧХ 
фильтра, а также диаграмму АФХ. Для построения амплитудно–фазовой характеристики (АФХ или частотного годографа) целесообразно воспользоваться не показательной формой комплексного параметра KU(jf)=K(ω)ехр(jφ(f)), а алгебраической КU(jf)=A(f)+jB(f)=K(f)cosφ(f) + j K(f)sinφ(f).
По графику определим частоту среза 
полосу пропускания 
, крутизну спада амплитудно-частотной характеристики 
:
Дб/дек 
Дб/дек
н=39300 Гц
н=63300Гц
→63300-39300=24000Гц
Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно определить по полюсно-нулевой карте операторной функции.
В качестве нижней граничной частоты fн можно принять значение, близкое к величине
где Smin – расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля или полюса)
Это расстояние определяется как модуль особой точки: S =p0или S=p*.
За верхнюю граничную частоту fв можно взять значение
где Smax – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки. Рассчитаем граничные частоты для нашего примера.
p0=0 рад/c, 
Следовательно, Smin=p0, Smax=p*,
.
4. Расчет переходной характеристики фильтра
По формуле 
=
найдем операторное изображение переходной характеристики фильтра. Используя выражение для операторной передаточной функции из пункта 3, запишем
=
=
Определение оригинала переходной характеристики 
по данному изображению осуществим по теореме разложения. Для этого вычислим корни уравнения
=
=0,
которые являются полюсами операторной функции . Она имеет два комплексно-сопряженных полюса:
=– 80792+ј∙302950 ; 
= – 80792-ј∙302950 рад/с.
Воспользуемся формулой теоремы разложения для случая трех простых (некратных) полюсов, один из которых нулевой:
=
+
+
.
h(t)=
+ +
Проведя преобразования, получим искомое уравнение переходной характеристики фильтра:
В ходе преобразований при подобных вычислениях полезно помнить формулы
; 
;
Расчет переходной характеристики проводят в определенном временном интервале и с определенным шагом изменения времени, которые зависит от вида функции, составляющих переходную характеристику.
Временной интервал 0 ÷ T1 определяется показателем экспоненты s и принимается примерно равным
T1 = (4 ÷ 5)/s=
Шаг изменения времени T2 можно оценить по периоду T гармонического колебания
T = 2
/w =6.28/302950=2,074∙
с.
Если принять 10 точек на период T, то шаг изменения времени T2 будет равным
T2 = T/10 = 2,074∙
c
5. Анализ полученных результатов
В случае 
конфигурация цепи упрощается, т.к. емкостные сопротивления стремятся к нулю и емкостные элементы следует закоротить.
Рассмотрим уравнения АЧХ и ФЧХ при условии:
а) =-
при 0≤ <313538рад/с
б) =
при >313538рад/с
в) =
при =313538 рад/с
так как у нас 
, то для ФЧХ будем применять формулу б).
В случае 
(режим постоянного тока) конфигурация цепи упрощается, так как постоянный ток не протекает через емкостные элементы. Поэтому для определения передаточной функции на постоянном токе емкостные элементы следует заменить разрывом цепи.
При w=313538 рад/с имеем
=
Список использованной литературы
1. Расчёт линейных активных RC-цепей: Методические указания к выполнению курсового проекта по курсу «Теоретические основы электротехники». Старцев С.А. –КГЭУ, Казань, 24с.
2. Расчет частотных и переходных характеристик линейных активных цепей: методическое пособие по курсовой работе. В.А. Михайлов, Э.И. Султанов. Казан. гос. техн. ун-т. Казань, 2001, 27 с.
3. Основы промышленной электроники/Под ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1986.
32
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
