62182 (566004), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рисунок 3.7 - Спектральная плотность радиосигнала

3.4 Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу

Аналитический сигнал, соответствующий реальному физическому сигналу , определяется соотношением:

, (3.12)

где

- функция, сопряженная по Гильберту выходному сигналу;

- реальный физический сигнал.

. (3.13)

Также аналитический сигнал может быть представлен через модуль аналитического сигнала

, (3.14)

и полную фазу (3.15)

в виде (3.16)

Для радиосигнала полную фазу можно записать в форме:

, (3.17)

где ₀ - частота несущего высокочастотного колебания, ;

(t) - изменяющаяся во времени фаза, рад; ₀ - постоянная во времени начальная фаза, рад. В этом случае аналитический сигнал определяется соотношением:

, (3.18)

где

-комплексная огибающая аналитического сигнала, соответствующего радиосигналу, В;

Заметим, что комплексная огибающая аналитического сигнала вещественна, то есть не имеет мнимой составляющей и представляет собой видеосигнал (3.2). Поэтому аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу можно представить:

Спектральная плотность аналитического сигнала сосредоточена только в области положительных частот и находится из соотношения:

, (3.19)

где

- спектральная плотность радиосигнала (3.11)

Построим график спектральной плотности аналитического сигнала рисунок 3.8.

Рисунок 3.8 - Спектральная плотность аналитического сигнала

3.5 Дискретный сигнал, соответствующий видеосигналу

В соответствии с теоремой Парсеваля полная энергия сигнала равна:

, (3.20)

Ограничим спектр исходного видеосигнала некоторой граничной частотой f_g, таким образом, что бы энергия сигнала, с «ограниченным спектром» была равна 99% энергии исходного сигнала. Находим граничную частоту по формуле, из условия:

, (3.21)

Получаем f_g63,2 кГц.

Если теперь считать, что сигнал имеет спектр, наивысшая частота которого равна f_g, то в соответствии с теоремой Котельникова, сигнал может быть полностью определен дискретными выборками, взятыми с частотой 2f_g, называемой частотой дискретизации.

Найдем интервал дискретизации T_d:

, (3.22)

Математическую модель дискретного f_d(n) сигнала можно записать в следующем виде:

, (3.23)

где

n,k – целые числа;

f(kT_d) – выборки из видеосигнала (3.2) кратные интервалу дискретизации;

(n) – единичный импульс определенный как:

, (3.24)

Графическое изображение дискретного сигнала f_d(n) приведено на рисунок 3.9.

Рисунок 3.9 - Дискретный сигнал

Для отыскания спектральной плотности дискретного сигнала воспользуемся соотношением:

, (3.25)

где - спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах.

Модуль спектральной плотности дискретного сигнала приведен на рисунок 3.10.

Рисунок 3.10 - Модуль спектральной плотности дискретного сигнала, модуль спектральной плотности видеосигнала.

Таким образом, спектр дискретного сигнала периодичен по частоте, с периодом равным частоте дискретизации. Если эффект наложения спектров отсутствует, то в полосе частот от минус половина частоты дискретизации до плюс половина частоты дискретизации, спектр дискретного сигнала равен спектру аналогового сигнала. Для случая приведенного на рисунок 3.11 это условие не выполняется. Поэтому восстановленный сигнал будет искажен рисунок 3.11.

3.6 Сигнал представленный рядом Котельникова

Получить сигнал, определенный в любой момент времени (аналоговый сигнал f_a(t)) можно используя интерполяционную формулу:

, (3.26)

Данный ряд называется рядом Котельникова и позволяет полностью восстановить аналоговый сигнал f_a(t) из дискретных выборок этого сигнала, если сигнал f_a(t) имеет ограниченный спектр с максимальной частотой f_g, и если выборки взяты с частотой не меньшей 2f_g. Поскольку сигнал, подвергнутый дискретизации (3.2), имеет неограниченный спектр (3.5), то восстановление сигнала (3.26) по его выборкам (3.23), будет неточным. Уменьшить ошибку до любого уровня можно увеличивая частоту дискретизации. Сигнал восстановленный с помощью выражения (3.26), приведен на рисунок 3.11.

Рисунок 3.11 - Сигнал представленный рядом Котельникова.

3.7 Выводы

Анализируя формулы и графики, приведенные в разделе 3 можно сделать несколько выводов:

1) Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот.

2) Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала.

3) Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f₀)ω₀.

4) Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму спектров видеосигнала смещенных друг относительно друга на n2fg.

4 Анализ электрических цепей

4.1 Исследование апериодического звена

Рисунок 4.1 – Электрическая принципиальная схема апериодического звена.

R1=1000 Ом

C=0.5 мкФ

4.1.1 Комплексный частотный коэффициент передачи апериодического звена

Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.1:

(4.1)

_{Из формулы (4.1) легко получить АЧХ и ФЧХ апериодического звена.}

АЧХ можно получить, взяв модуль комплексного частотного коэффициента передачи.

ФЧХ вычислим по формуле (4.2).

(4.2)

Построим графики АХЧ и ФЧХ:

Рисунок 4.2– АЧХ апериодического звена

Рисунок 4.3– ФЧХ апериодического звена

4.1.2 Операторный коэффициент передачи

Запишем операторный коэффициент передачи для апериодического звена

. (4.3)

4.1.3 Импульсная характеристика апериодического звена

Импульсная характеристика цепи определяется как реакция цепи на входной сигнал в виде дельта-функции.

Импульсная характеристика находится ОПЛ от операторного коэффициента передачи. ОПЛ определяется следующим образом:

. (4.4)

Однако на практике при расчетах операторным методом пользуются таблицами прямых и обратных преобразований Лапласа. Это в значительной мере облегчает вычисления. Вычислив обратное преобразование Лапласа от операторного коэффициента передачи его получим:

. (4.5)

Рисунок 4.4– Импульсная характеристика апериодического звена

4.1.4 Переходная характеристика апериодического звена

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на сигнал в виде функции Хевисайда. В общем случае переходная характеристика находится как:

, (4.6)

где L^-1 – обратное преобразование Лапласа.

Вычислив выражение (4.6) получим:

. (4.7)

Рисунок 4.5– Переходная характеристика апериодического звена

4.2 Исследование колебательного звена

R1

Рисунок 4.6 - Схема электрическая принципиальная колебательного звена

L=1.5 мкГн

С=20.000 пФ

Q=50

Для последовательного колебательного контура справедлива формула:

,

Выразив R получим и подставив численные значения Q, L и C найдем R=0,173 Ом.

4.2.1 Комплексный частотный коэффициент передачи колебательного звена

Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.6:

. (4.8)

_{Из формулы (4.8), как и для апериодического звена, можно легко получить АЧХ и ФЧХ колебательного звена.}

Рисунок 4.7 – АЧХ колебательного звена

Рисунок 4.8 – ФЧХ колебательного звена

4.2.2 Операторный коэффициент передачи

Запишем операторный коэффициент передачи для колебательного звена:

(4.9)

4.2.3 Импульсная характеристика колебательного звена

Импульсная характеристика находится как ОПЛ от операторного коэффициента передачи, найдем его при помощи MathCad:

(4.10)

Ниже приведено графическое изображение импульсной характеристики:

Рисунок 4.9– Импульсная характеристика колебательного звена

4.2.4 Переходная характеристика колебательного звена

Переходную характеристику найдем по формуле (4.6) при помощи MathCad.

(4.11)

Рисунок 4.10 – Переходная характеристика колебательного звена

5. Анализ прохождения сигналов через линейные цепи

Для нахождения отклика цепи на входящий сигнал в радиотехнике применяются различные методы, такие как:

• временной

• спектральный

• операторный

При расчетах в пакете MathCAD 2001 мы использовали спектральный метод. Суть данного метода можно представить в виде обратного преобразования Фурье:

, (5.1)

где y(t) - сигнал на выходе цепи,

F(jw) – спектральная плотность входного сигнала,

K(jw) – комплексный коэффициент передачи цепи.

5.1 Прохождение видеосигнала через апериодическое звено

Выходной сигнал можно представить в виде:

(5.2)

где у1(t) – отклик апериодического звена на видеосигнал f(t)

F(jw) – спектральная плотность входного видеосигнала,

K1(jw) – комплексный коэффициент передачи апериодического звена.

Сигнал на выходе апериодического звена при прохождении видеосигнала представлен на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Отклик апериодического звена на видеосигнал

Следует отметить что форма сигнала несколько исказилась.

Объясняется это тем, что в диапазоне частот видеосигнала данная цепь имеет слабо неравномерный коэффициент пропускания, при этом большая часть гармоник сигнала (низкочастотных) проходит без изменений, а некоторая часть - ослабляется. Для большей наглядности изобразим F(j) и K1(j) на одном графике (рисунок 5.2):

Рисунок 5.2 – Значение K1(j) на диапазоне частот видеосигнала

В результате неравномерности коэффициента пропускания в спектре выходного сигнала происходит изменение соотношения энергий гармоник, что приводит к некоторому искажению формы сигнала.

Рисунок 5.3 – Спектр входного f(t) и выходного сигнала y1(t)

5.2 Прохождение радиосигнала через апериодическое звено

Выходной сигнал можно представить в виде:

. (5.3)

где уr1(t) – отклик апериодического звена на радиосигнал Fr(t)

Fr(jw) – спектральная плотность входного радиосигнала,

K1(jw) – комплексный коэффициент передачи апериодического звена.

Изобразим сигнал yr1(t) графически:

Рисунок 5.4 - Отклик апериодического звена на радиосигнал

Анализируя рисунок 5.4, делаем вывод: на выходе апериодического звена радиосигнал подавлен.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы