06Глава 5 (558146)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.3. Методы и средства функционального синтеза

Математические модели электронных схем. Анализ электронных схем на ЭВМ осуществляется с помощью математической модели, т.е. системы уравнений, описывающей работу исследуемой схемы. Математическая модель схемы (ММС) состоит из компонентных (макромодельных) и топологических уравнений. Компонентные уравнения — уравнения элементов или макромоделей. Топологические уравнения — уравнения связи элементов в узле или устройстве.

Переменные, характеризующие состояние элементов, принято называть фазовыми переменными. Обозначим: V — вектор фазовых переменных; E - подвектор, образованный фазовыми переменными вектора V, производные которых фигурируют в компонентных уравнениях. Для электронных схем V — вектор токов и напряжений всех ветвей схемы, E — индуктивные токи и емкостные напряжения.

При формировании ММС задается перечень элементов системы и имеется библиотека элементов или макромоделей, т.е. подсистема компонентных уравнений F(z,V,t)=0. После дискретизации уравнение будет иметь вид

F_k(z_k, V_k, t_k)=0, ^(2.1)

где z_k=z(th), V_k=V(th), t_k — значение независимой переменной t для k-го шага интегрирования. Выполнив разложение (2.1) в ряд Тейлора в окрестностях точки (z_ki, V_ki), являющейся i-м приближением к корню этой системы, и сохранив в разложении только линейные члены, получим

А_kiz_k,i+1 + B_kiV_k,i+1 = Q_ki, (2.2)

где A_ki = F_k/ z_k , B_ki = F_k/ V_k и вектор правых частей Q_ki определены в точках (z_ki, V_ki), a (z_k,i+1, V_k,i+1) — точки (i+1)-гo приближения к корню.

Так как заданы межэлементные связи, то известна подсистема топологических уравнений

DV_k,i+1 =0 (2.3)

где D — топологическая матрица.

Для полноты системы математической модели используется подсистема, выражающая формулу численного интегрирования:

F(z_k,i+1,V_k,i+1)=0. (2.4)

Для большинства методов подсистема (2.4) линейна:

,

и задача формирования ММС конкретизируется как задача формирования матриц , H_k, D, А_ki, B_ki и векторов и Q_ki.

Общая система уравнения ММС:

Подсистема линейных алгебраических уравнений (2.3) выражает законы Кирхгофа для токов и напряжений для выбранной совокупности независимых контуров и сечений в графе схемы замещения (эквивалентной схемы). Выбор совокупности эквивалентен выбору фундаментального дерева в графе схемы. Фундаментальным деревом связного графа называется суграф, в котором отсутствуют циклы. Для связного графа с а вершинами фундаментальное дерево состоит из ребра. Нордами называются ребра, не вошедшие в фундаментальное дерево.

Система уравнений для первого закона Кирхгофа:

J_р + МJ_х = 0, (2.5)

Где J_p и J_x – векторы токов соответственно ребер и хорд фундаментального дерева; М — топологическая матрица контуров и сечений.

Система уравнений для второго закона Кирхгофа:

U_x – M^TU_p = 0 (2.6)

где U_X и U_p — векторы напряжений соответственно хорд и ребер фундаментального дерева; М^т — транспонированная матрица М.

Следовательно, подсистема уравнений (2.3) с матрицей коэффициентов D принимает вид

Операции выбора фундаментального дерева и формирования матрицы М формализованы.

В настоящее время для формирования системы уравнений применяются методы переменных состояния, метод узловых потенциалов, обобщенный метод и т.п. [16],

Метод переменных состояния (МПС). В методе переменных состояния в качестве переменных используются напряжения на емкостях и токи через индуктивности (переменные состояния). Метод основан на получении ММС в форме, удобной для применения явных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В МПС исходными являются уравнения:

J_P + MJ_X = 0;

U_X - MU_P = 0;

F_K(z_K,V_K,t_K) = 0;

где матрица М формируется на основе нормального дерева в графе схемы. Нормальным деревом графа схемы называется дерево, которое содержит все источники напряжения, максимально возможное число конденсаторов и резисторов, минимально возможное число индуктивностей.

В этом случае М-матрица имеет следующую структуру:

Здесь С, S — матрицы конденсаторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; R, — матрицы резисторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; Г, L — матрицы индуктивностей, попавших в дерево и хорды графа соответственно. Зависимые и независимые источники напряжения Е, J_E и источники тока J, U_J.

Тип ветви определяется видом соответствующего ей компонен­тного уравнения. В МПС предполагается, что компонентные уравнения резистивных ветвей связывают J_R и U_R, емкостных Ветвей U_s и J_s либо U_c и J_c, индуктивных ветвей J_L и U_L либо J_Г и U_Г; при этом в уравнениях связи могут фигурировать переменные состояния, к которым относятся U_c и J_L. Источники напряжений Е и тока J могут быть независимыми или зависимыми только от переменных состояния и времени, т.е. компонентные уравнения имеют вид:

F_R(U_R,J_R,U_C,J_L) = 0; (2.8)

F_r(U_r,J_r,U_C,J_L) = 0; (2.9)

F_S( ,J_S,U_C J_L) = 0; (2.10)

F_C( ,J_C,U_C J_L) = 0; (2.11)

F_L( ,U_L,U_C J_L) = 0 (2.12)

F_r( ,U_r,U_C J_L) = 0; (2.13)

F_E(U_E,U_c,J_L,t) = 0; (2.14)

F_j(J_j,U_C,J_L,t) = 0. (2.15)

Математическая модель схемы ММС состоит из трех подсистем алгебраических уравнений и формул явного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.8), (2.9) и топологических уравнений, характеризующих резисторы:

Вторая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.11) и топологических уравнений, относящихся к матрице конденсаторов:

* =

По аналогии формируется третья подсистема из линеаризован­ных уравнений (2.12), (2.13) и топологических уравнений, относящихся к индуктивностям:

* =

Здесь Q_r, Q_R, Q_s, Q_c, Q_L, Q_r— правые части линеаризован­ных компонентных уравнений, зависящие от переменных состояния:

Q_r = -F_r(U_r,J_r,U_c,J_L).+ ( F_r/ J_r)J'_r+( F_r/ U_r)U'_r;

Q_R = -F_R(U'_R,J'_R,U_C,J_L) + ( F_R/ J_R)J'_R + ( F_R/ U_R)U'_R;

Q_S = - F_S(U'_SJ'_S,U_C,J_L) + ( F_S/ J_S)U'_S + ( F_S/ J_S)J'_S

и т.д., где обозначение переменной со штрихом относит ее к пред­ыдущей итерации вычислительного процесса,

Таким образом, на очередном шаге численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) явными методами выполняются следующие вычисления:

по известным от предыдущего шага значениям U _c, J_L и известному значению t вычисляются значения U_E, J_J путем решения

компонентных уравнений (2.14) и (2.15) и значения их производных по времени;

вычисляются правые части и коэффициенты системы уравнений (2.16). ..(2.18);

вычисляются векторы J _R и U _г по (2.16);

вычисляются векторы и по (2.17);

применяется одна из явных формул интегрирования, позволя­ющая по ()U _с и ()J _L вычислить значения и для нового шага интегрирования.

Метод позволяет использовать неявные методы интегрирования ОДУ. Рассмотренный метод переменных состояния отличается высокой наглядностью, так как позволяет получить конечную форму ма­тематической модели схемы в виде дифференциального уравнения.

Пример. Построить ММС для схемы рис. 2.20, а , граф-схе­ма которой приведен на рис. 2.20, б с помощью МПС в случае ис­пользования явных методов интегрирования.

Рис. 2.20. Принципиальная (а) и граф-схема (б) устройства

Для рассматриваемого примера матрица М имеет вид

M =

Математическая модель схемы представляется следующими тремя системами уравнений:

Реализация построенной ММС позволяет подобрать все значения компонентов схемы и провести оптимизацию исследуемой схемы.

Метод узловых потенциалов. В данном методе в качестве независимых переменных используются напряжения во внутренних узлах схемы относительно некоторого опорного узла, потенциал которого принимается равным нулю. Внутренним узлом называется узел, который не связан непосредственно с источником напряжения.

В основе метода лежит первый закон Кирхгофа. В методе узловых потенциалов (МУП) различают классический и модифицированный варианты. В классическом варианте вектор определенных переменных составляют узловые потенциалы, топологические уравнения которых представлены в виде

AJ-0, U + A^t = 0, (2.19)

где J — вектор токов ветвей; — вектор узловых потенциалов; А — матрица.

Для получения ММС используется процедура линеаризации и исключения небазисных координат. В результате ММС принимает

вид

Я V= Q, (2.20)

где Я — матрица узловых проводимостей, Q — вектор правых частей, V— вектор базисных координат.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги