Лекций основы финансового менеджмента (555590), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

для Р = 10 млн. рублей, S = 10 млн. 1 тыс. рублей, t = 7 дней, K = 365 дней

для Р = 10 тыс. рублей, S = 11 тыс. рублей, t = 6 мес., К = 12 мес.

Применив формулу эквивалентности простой и сложной процентных ставок (2.2.21), получим аналогичные результаты:

для P = 10 млн. рублей

;

для Р = 10 тыс. рублей

С позиций финансовой теории обоснованным является использование сложной процентной ставки, так как данный метод учитывает возможность реинвестирования начисленных процентов. Но в ряде случаев расчет доходности производится в соответствии с принятыми на данном рынке обычаями. Общим правилом является использование простой процентной ставки для краткосрочных финансовых операций (депозитные сертификаты, казначейские векселя, краткосрочные ссуды и т.п.). Во всех остальных случаях используется эффективная сложная процентная ставка. Следует отметить, что использование эффективной сложной ставки для расчета доходности также не свободно от недостатков. Предположение об однократном реинвестировании начисленных процентов нуждается в обосновании. Более логичным было бы предположение о непрерывной капитализации процентов, то есть расчет доходности по ставке сложных непрерывных процентов.

Рассмотрим несколько примеров расчета доходности краткосрочных инвестиций (продолжительностью менее 1 года). Как уже отмечалось, в данном случае применяется ставка простых процентов, поэтому большое значение имеет способ подсчета числа дней в периоде, а также метод определения продолжительности года (временной базы). Подробнее об этом говорилось в параграфе. 2.1.1. По 90-дневному банковскому депозитному сертификату, купленному за 10 тыс. рублей, в конце срока его действия получен доход в сумме 1 тыс. рублей. Фактическая доходность за 90 дней составила 10% (1 000 / 10 000), годовая доходность в предположении, что год равен 360 дням будет равна 40%:

Если предположить точную временную базу (t = 365 дней), то доходность операции составит 40,56%. Допустим, что данный сертификат был приобретен дороже номинала – за 10 тыс. 200 рублей и продан через 45 дней за 10 тыс. 800 рублей. Тогда его фактическая годовая доходность (при t = 360) составит 47,06%:

Если по условиям сертификата на него начислялись простые проценты из расчета 25% годовых, то сначала следует найти их общую сумму, причитающуюся владельцу за 45 дней. Применив формулу (2.1.3), получим:

Тогда общий доход от владения сертификатом в течение 45 дней составит 912,5 рублей (10 800 – 10 200 + 312,5), а полная годовая доходность владения этим инструментом (hpr) 71,57%:

Таким образом, рассчитывая фактическую доходность, прежде всего необходимо выявить все доходы, полученные от инвестиции как в форме текущих выплат, так и в виде прироста стоимости инвестиций, а затем разделить их на начальные инвестиции (фактически вложенный капитал). Полученная величина аннуилизируется путем умножения на принятую временную базу и деления на длительность операции.

Данное правило полезно помнить при определении доходности финансовых инструментов, продаваемых со скидкой (дисконтом). В этом случае не следует путать учетную ставку, устанавливаемую по данному инструменту (процент скидки) с величиной доходности. Ставка дисконта служит для определения суммы дохода в абсолютном выражении (рублях). Только найдя эту сумму, можно приступать к расчету доходности инструмента. Например, вексель номиналом 50 тыс. рублей продается по курсу 85%, т.е. с дисконтом 15%. Он будет выкуплен через 60 дней по номиналу. Следовательно, через 2 месяца инвестор получит доход в сумме 7,5 тыс. рублей (50 х 0,15). Доходность этой операции составит (при t = 360 дней) 105,88%:

То есть, ставка дисконта, установленная по векселю не отражает его фактической доходности, а является номинальной величиной, используемой только для определения абсолютной суммы дохода. Это относится и к случаю, когда ставка дисконта установлена в годовом исчислении. Например, по вышеупомянутому векселю известен его номинал, срок и годовая учетная ставка 60%. Тогда, применив формулу банковского учета (2.1.8), сначала найдем продажную стоимость векселя:

Следовательно, фактический доход инвестора составит 5 тыс. рублей (50 000 – 45 000), а фактическая годовая доходность операции – 66,67%:

Если известна доходность за период, меньший, чем год (месяц, 40 дней, полугодие и т.д.), то годовую доходность можно определить умножив имеющиеся данные на число периодов в году: доходность за месяц умножается на 12, квартальная доходность – на 4 и т.д. Данный способ аннуилизации применим только в случае использования простой процентной ставки. Например, доходность за 75 дней составила 5%, временная база – 365 дней. Тогда годовая доходность будет равна 24,33% (5 х 365 / 75). Как уже отмечалось выше, способ расчета дохода не влияет на параметры финансовой операции. То есть, фактические денежные потоки, порождаемые операцией, являются входными переменными и не зависят от того, какие арифметические действия выполняет над их величинами финансист, чтобы определить доходность. Поэтому, ничто не мешает финансовому менеджеру рассчитать доходность одной и той же операции различными способами. Для этого следует применить формулы расчета эквивалентных процентных ставок (см. параграф 2.2). В предыдущем примере годовая доходность векселя как ставка простых процентов составила 66,67%. Применив формулу (2.2.21), определим эквивалентную ей сложную процентную ставку:

Применив формулу (2.2.29) можно рассчитать годовую доходность по сложной непрерывной ставке (силе роста):

То есть, одна и та же операция, приносящая инвестору 5 тыс. рублей дохода на вложенные 45 тыс. рублей через 60 дней, может быть охарактеризована следующими показателями доходности:

– по ставке простых процентов (i_пр) – 66,67%;

– по эффективной сложной процентной ставке (i_сл) – 88,17%;

– по сложной непрерывной процентной ставке (силе роста δ) – 63,22%.

Так как данная операция является краткосрочной, то для ее оценки более приемлем первый показатель доходности (по ставке простых процентов). Однако финансовый менеджер может с успехом использовать и два других измерителя доходности для сравнения с параметрами иных операций, осуществляемых предприятием.

5.2. Определение средней доходности

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной, в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

r_i – доходность i-го инструмента;

w_i – доля (удельный вес) стоимости i-го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая, взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим r_ср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1))^1/3-1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% - к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1

Динамика доходности акции за 3 года

руб.

Из таблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода (12,88 руб.) “дороже” 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическое усреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием, хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическая доходность всегда выше среднегеометрической и эта разница увеличивается по мере усиления разброса исходных показателей.

Неправомерность использования средней арифметической становится особенно наглядной, когда наряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности. Предположим, что в течение первого года цена акции возросла вдвое, но к концу второго года она вернулась на свое исходное значение (100 руб.). Занесем соответствующие данные в таблицу (табл. 5.2.2).

Таблица 5.2.2
Динамика доходности акции за 2 года
руб.

По формуле средней арифметической получим, что среднегодовая доходность за весь период составила 25% ((100 – 50) / 2). Очевидно, что это абсолютно неверный результат, так как богатство владельца акции нисколько не изменилось и составило к концу второго года те же самые 100 рублей, что и в начале первого года. Полная доходность за период владения составила 0% ((100 – 100) / 100). Такой же результат получим, применив формулу средней геометрической доходности: ((1 + 1) * (1 – 0,5))^1/2 – 1 = 0%.

Причина столь грубой ошибки заключается не в изначальной “порочности” средней арифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению. Для расчета доходности за каждый отдельный год в качестве величины первоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себя реинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчета доходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднюю доходность за период владения следовало рассчитывать по формуле средней геометрической. Такой подход является общепринятым в финансовой теории и он всегда применяется для операций, длительность которых превышает 1 год. Однако в случае краткосрочных операций (продолжительностью до 1 года) допускается использование простой процентной ставки, среднее значение которой рассчитывается по формуле средней арифметической. В этом случае, доходность за каждый период должна рассчитываться путем деления суммы полученного дохода на одну и ту же величину – инвестиции в данный финансовый инструмент, сделанные в начале первого периода.

Предположим, что срок владения акцией составил не 2 года, а 2 месяца. После двукратного увеличения ее стоимости в течение 1 месяца, инвестор решил подержать ее подольше, надеясь на дальнейший рост курса. Однако в следующем месяце цена акции резко упала и вернулась к своей исходной величине – 100 рублей. Решив не испытывать больше судьбу, владелец продал акцию в конце второго месяца за эту цену. Доходность акции, рассчитанная по ставке простых процентов (К = 360 дней), составит: за первый месяц 1200% ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); за второй месяц -1200% (отрицательная величина) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Таким образом, среднеарифметическая доходность будет равна 0 ((1200 – 1200) / 2).

Характеристики

Список файлов лекций