Шпаргалки по ТВиМС (555234), страница 4

1. Условия независимости случайных величин (в общем, дискретном и непрерывном случаях). Пример: независимость компонент случайного вектора, равномерно распределенного на прямоугольнике.

СВ X и Y называются независимыми, если F(x,y) = F_X(x)F_Y(y). Пусть Z – случайный двумерный дискретный вектор. Дискретные СВ X и Y, составляющие вектор Z, независимы тогда и только тогда, когда для всех i=0,n; j=0,m P{X = x_i, Y = y_i} = P{X = x_i}P{Y = y_i}. Для независимости непрерывных СВ Х и Y достаточно, чтобы выполнялось равенство f(x,y) = f_X(x)f_Y(y).

П ример: Случайный вектор Z распределен равномерно на прямоугольнике [1,1]x[2,3] и имеет функцию распределения ½(xy-x-y+1) на площади прямоугольника. Независимы ли его компоненты? Решение: Вектор по условию составлен из двух равномерно распределенных случайных величин X и Y. X ~ R(1,2); Y ~ R(1,3). f_X(x) = 1/(2-1) = 1 при X  [1,2]. f_Y(y) = ½ при Y  [1,3]. Если компоненты X и Y независимы, то f(x,y) = f_X(x)f_Y(y). Получаем следующее:

Теперь найдем функцию распределения, проинтегрировав f(x,y) по области прямоугольника.

При Х, Y  [1,1]x[2,3]. При X > 2, Y > 3 F(x,y) = 1. При X < 1, Y < 1 F(x,y) = 0. Полученная функция совпадает с заданной в условии. Компоненты независимы.

1. Моментные характеристики пары случайных величин: смешанный второй начальный момент, ковариация, коэффициент корреляции, ковариационная матрица. Свойства ковариации: вычисление ковариации через смешанный второй начальный момент, симметричность, линейность.

Смешанный второй начальный момент есть математическое ожидание произведения компонент вектора, т.е. _XY = M[XY]. Если произвести преобразование по формуле для зависимых СВ, то M[XY] = (по определению) k_XY + M[X]M[Y], где k_XY – ковариация. Ковариацией (корреляционным моментом) k_XY СВ X и Y называется второй центральный смешанный момент. k_XY = (по определению) M[(X-M[X])(Y-M[Y])]. Ковариация непрерывных СВ X и Y равна:

Ковариация нормированных СВ называется коэффициентом корреляции. r_XY=k_XY/_X_Y.

Ковариационная матрица:

Свойства ковариации:

• cov(Ax,By)=ABcov(x,y).

• cov(x,y) = cov(y,x).

1. Формула дисперсии суммы (разности) двух величин. Неравенство Коши-Шварца для ковариации.

Пусть MX=MY=0. M[XY] = 0.

Неравенство Коши-Шварца:

1. Некоррелированность и линейная зависимость двух случайных величин и их связь со свойствами ковариации и коэффициента корреляции.

СВ X и Y называются некоррелированными, если cov(X,Y)=0. Из независимости СВ следует их некоррелированность, однако обратное утверждение в общем случае ложно. Как пример можно разобрать функциональную зависимость Y = X², где X ~ R(-a,a). Тогда ковариация между X и Y равна:

Величины не коррелированны, но связаны функциональной зависимостью. Коэффициент корреляции:

Заметим, что |r_XY|  1 (следует из неравенства Коши-Шварца).

Если |r_XY| = 1, то случайные величины X, Y линейно зависимы, т.е.

 с₁, с₂  R, с₁²+с₂² > 0: с₁X + с₂Y = 0.

Линейная зависимость случайных величин X и Y или, что то же самое, их коллинеарность являются частным случаем их функциональной зависимости.