2sem_8 (552401), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При нормальных условиях P = 1 атм , t C = 0 C , 1 кмоль газа занимает объем V0 = 22,4 м .0Отсюда n =03NA= 3 ⋅ 10 25 м −3 . Диаметр молекулы составляет примерно d ~ 2 ⋅ 10 −10 м . Тогда длина22.4свободного пробега и частота столкновений равны, соответственноλ~12 ⋅ 3.14 ⋅ 4 ⋅ 10− 20⋅ 3 ⋅ 1025≈ 2 ⋅ 10 −7 м = 2 ⋅ 10 −5 см ;ν ~ 10 9 c −1 .2.1.

Средняя длина свободного пробега в одном направлении.Рассмотрим теперь одномерную задачу, т.е. нас будет интересовать пробег, совершаемый молекулой вдольвыделенного направления. Такой упрощенный подход правомерен, поскольку он охватывает все существенныечерты изучаемых явлений.Рассмотрим объем dV , испытав последнее столкновение в котором, молекулы могут достичь площадки dS .Пусть объем dV содержит dN 0 молекул, испытавших в нем столкновениеdN 0 = n0 dV .5Доля молекул, летящих после столкновения к площадке dS , равна отношению телесного угла, под которымвидна эта площадка из объема dV к полному телесному углу:zdΩ dS ⋅ cos ϑ=.4π4πr 2dVДалее, доля молекул, долетевших до площадкиdS без столкновения, определяется множителемr~exp(− ) (см.

(1.9)).λϑdSТогда полное число молекул, не испытавшихна пути из элементарного объема dVстолкновений и пересекших площадку dSопределяется какrϑyϕxdS cos ϑ rn0 dV exp − (2.1)24πr λМожно записать вероятность dP молекуледолететь из объема dV до площадки dS безdN =столкновений с другими молекулами, выразивобъем dV в сферических координатах и введянормировочную постоянную A :dS ⋅ n0dS ⋅ n0 r rexp − r 2 dr cos ϑ sin ϑdϑdϕ = Aexp − dr cos ϑ sin ϑdϑdϕ . (2.2)24π4πr λ λТогда среднее расстояние по оси z = r cos ϑ определяется стандартным образом (делим на нормировочныйdP = Aинтеграл):n0 dS rexp − rdr cos 2 ϑ sin ϑdϑdϕ∫∫∫4π λ==z =∫ dP A n0 dS ∫∫∫ exp − r dr cosϑ sin ϑdϑdϕ4π λπ∞2π2.(2.3) r21 2−ϕϑϑϑcossinexpddrdr2π ⋅ ⋅ λ∫ ∫0∫0  λ 23= 0== λπ1∞2π322π ⋅ ⋅ λ r−cossinexpϕϑϑϑdddr2∫0 ∫0∫0  λ 2z = λ.(2.4)3Т.о., мы нашли, что среднее расстояние, пролетаемое молекулой в направлении оси z после последнегостолкновения до пересечения площадки dS , составляет 2 3 от среднего значения длины свободного пробега.∫ zdPA5.2.

Общее уравнение переноса.Энергию, импульс, массу, заряд и т.д., переносимые молекулами при протекании процессов в неравновесныхсистемах, можно формально объединить термином «качество». Итак, рассмотрим перенос некоторого качестваY молекул вдоль выделенной оси, при условии, что равновесие вдоль этой оси нарушено, т.е. пусть, например,существует градиент качества Y по оси x .2.2. Уравнение стационарных процессов переноса.Пусть Y - то свойство молекулы, которое можно переносить вместе с ней: масса, энергия, импульс, заряди т.д.

Предполагаем, что в равновесии Y постоянно по объему, а при нарушении равновесия (например, вдоль6∂Y≠ 0 . Итак, пусть имеем градиент качества Y ( x ) вдоль оси x . Это∂xвызовет перемещение качества вдоль оси x . Среднее расстояние, пробегаемое молекулами вдоль2оси x без столкновения равно λ . Обычно это расстояние мало3и поэтому Y ( x ) можно разложить в ряд, рассматривая еезначения в точках, отстоящих от некоторой точки x наx2расстояние λ :223x− λx+ λx332 2 ∂Y ( x )Y  x ± λ  = Y (x ) ± λ(2.5)3 3∂xоси x ) возникает градиент качества Y :Здесь мы ограничились первым порядком разложения в ряд Тейлора.Поток числа частиц в направлении оси x равен числу “столкновений” с площадкой единичной площади,перпендикулярной оси x , в единицу времени:14ν = n0 v.

Этот поток направлен к точке x как с левой, таки с правой стороны. Следовательно, полный поток переносимого молекулами качества Y (например, энергии)равен сумме потоков величины Y , направленных к рассматриваемой площадке с обеих сторон.А) против оси x :Б) вдоль оси x :12 ∂Y I − = − n0 v Y ( x ) + λ,43 ∂x I+ =12 ∂Y n0 v Y ( x ) − λ.43 ∂x (2.5)(2.6)Суммируя потоки, направленные к точке x слева и справа, находим полный поток качества YIY = I + + I −(2.7)и получаем основное уравнение стационарных процессов переноса:1∂YI Y = − n0 v λ.3∂x(2.8)Далее мы будем использовать это уравнения, конкретизируя переносимое молекулами качество Y .5.3. Теплопроводность.Теплопроводностью называется один из способов переноса теплоты от более нагретых частей системы кменее нагретым.

Теплопроводность возникает, когда по каким-либо внешним причинам в газе возникаетградиент температуры, т.е. когда в разных точках пространства средние кинетические энергии молекул газаоказываются различными. Перенос энергии при теплопроводности осуществляетсяв результатенепосредственной передачи энергии при столкновениях от частиц, обладающих большей энергией, частицам сменьшей энергией. Если относительное изменение температуры T на расстоянии длины свободного пробегачастиц λ мало, то выполняется основной закон теплопроводности – закон Фурье.3.1. Уравнение Фурье.Рассмотрим газовую среду, в которой значение температуры зависит от координаты x , так что T = T ( x ) .Т.о., газ находится в неравновесном состоянии, и стремление системы к равновесному состоянию проявится впоявлении потока тепла, направленного от участков, обладающих высокой температурой, к участкам с болеенизкой температурой.Итак, переносимым молекулами качеством в рассматриваемом случае является тепло (кинетическаяэнергия), следовательно, в уравнении стационарных процессов переноса I Y приобретает смысл плотности7потока тепла jQ в направлении оси x .

В этом случае Y − средняя энергия теплового движения, приходящаясяна одну молекулу. Она изменяется вместе с изменением температуры среды.Исходя из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы (здесь и далее температуруизмеряем в градусах Кельвина Tk = T ), можем записатьY=Cii RkT =T = V T.22 NANA(3.1)Тогда∂Y CV ∂T=∂x N A ∂x(3.2)иC ∂T1∂TjQ = − n0 v λ V= −æ.(3.3)3N A ∂x∂xВведенный в последнем выражении коэффициент æ называется коэффициентом теплопроводности:C11æ = n0 v λ V = ρ v λcV(3.4)3NA 3CVCгде ρ = m0 n0 − плотность газа ( m0 − масса молекулы), cV == V - удельная теплоемкость.N A m0mИтак, уравнение Фурье (стационарное уравнение теплопроводности) имеет вид:jQ = −æ∂T∂x(3.5)Коэффициент теплопроводности.1.

Коэффициент теплопроводности не зависит от давления. Появлениезависимости говорит о появлении вакуума (длина свободногопробега молекул становится сравнимой с размерами сосуда). Изрисунка видно, когда можно ввести понятие вакуума.2. Коэффициент теплопроводности зависит от температуры какæ ~ T , т.к.æpC1æ = n0 v V3NA12σn0= const ⋅ T ,(3.6)т.е. зависимость æ от температуры определяется присутствием в выражении (3.6) средней скорости молекул,поскольку эффективное сечение σ слабо зависит от температуры.[ ]3. Размерность æ =Вт.м⋅К4. Полное количество тепла, переносимое через поверхность S , определяется интегралом по поверхности:Q = ∫ j Q dS .(3.7)S3.2. Нестационарное уравнение теплопроводности.В результате переноса тепла температуры тел (если они какими-либо средствами не поддерживаютсяпостоянными) со временем выравниваются, что приводит к изменению со временем градиента температуры,вследствие чего и поток тепла будет зависеть от времени: jQ = j Q ( x, t ) .Найдем уравнение теплопроводности, зависящее от времени, т.е.

учтем изменение температуры припереносе тепла.Рассмотрим поток тепла через поперечное сечение цилиндра ∆S . Количество тепла, приходящее за время∆t к поверхности ∆S с координатой x , равноj( x )∆Sdt .8j (x )Тепло, уходящее через поверхность ∆S , имеющую координатуx + dx :j( x + dx )∆Sdt .∆Sx + dxxТогда изменение количества тепла на промежутке x ÷ x + dxможно определить как∂j∂jdx∆Sdt = − ∆Vdt .∂x∂xС другой стороны, изменение количества тепла в объеме ∆V равноdQ = cV mdT = cV ρ∆VdT ,mгде cV - удельная теплоемкость, ρ =- плотность газа.∆VdQ = [ j ( x ) − j ( x + dx )]∆Sdt = −Сравнивая (3.8) и (3.9), находимcV ρdT = −и приходим к уравнению:cV ρ(3.8)(3.9)∂jdt∂x(3.10)∂T∂j=− .∂t∂x(3.11)Здесь j − плотность потока тепла через выбранную поверхность, т.е.

величина, определяемая уравнениемФурье (3.5).Подставляя выражение для j из (3.5) в (3.11), получаем уравнение теплопроводности (нестационарное):cV ρ∂T∂  ∂T = æ  .∂t ∂x  ∂x (3.12)Частный случай: среда однородна и коэффициент теплопроводности не зависит от температуры (такое можетбыть, если процесс протекает не в газе):∂T∂ 2Tæ ∂ 2T==ℵ∂t cV ρ ∂x 2∂x 21ℵ= λ v3(3.13)Для решения нестационарного уравнения теплопроводности (3.12) необходимо знать начальные играничные условия.Если известно, что существуют источники тепла (ток, распад), то их присутствие можно учесть, если ввестимощность источников – количество тепла, выделяемое в 1 объема в 1 времени.Тогда искомое уравнение примет вид:cV ρ∂T∂j∂  ∂T = − + q = æ  + q∂t∂x∂x  ∂x 3.3.

Распределение температуры между двумя концентрическими сферами.В качестве примера рассмотрим стационарное распределение(3.14)температурыконцентрическими сферами, при температуры которых поддерживаются равными T1 и T2 . т.е.Тогда из (3.11) имеем∂j сфер∂rмежду∂T= 0.∂tдвумя= 0 , где j − поток тепла через сферическую поверхность.Таким образом, поток тепла через любую сферу постояненj( r ) ⋅ 4πr 2 = const(3.15)Подставляя сюда поток тепла из уравнения Фурье, имеем:r 2æ∂T= const∂r(3.16)9drи, интегрируя, получаемr21T = A + B.(3.17)rКоэффициенты A и B находятся из граничных условий (при r = r1 : T = T1 , при r = r2 : T = T2 ).а). Если коэффициент æ постоянен, то dT = AТ.о., распределение температуры имеет вид:r2 T2 − r1T1 r1r2 ( T1 − T2 ) 1+.r2 − r1r2 − r1r1б). Если æ = æ(T ) , то ∫ æ(T )dT = A + B и снова находим A и B из граничных условий.rT=(3.18)5.4. Вязкость.Вязкость, или внутреннее трение проявляется в сопротивлении, которое при движении газа испытывают теего части, которые движутся быстрее других.

Вязкость газа обусловлена переносом импульса молекул поперекдвижения слоев газа.Пусть скорость направленного движения молекул газа u зависит от значения координаты x : u = u ( x ) .Тогда вдоль оси x происходить перенос импульса за счет перехода молекул из слоя в слой в результате иххаотического движения. Наблюдаемый эффект эквивалентен трению между слоями газа – внутреннее трение:быстрый слой тормозится, а медленный - ускоряется.xСила трения между слоями газа определяется выражением:u1dpdu=η S ,dtdxduгде η − коэффициент вязкости,- градиент скоростиdxупорядоченного движения, S − площадь поверхностиF=u2u3(4.1)соприкосновения слоев газа.Сила трения, отнесенная к площади трущихся поверхностей газа,равна потоку импульса упорядоченного движения вперпендикулярном скорости u направлении, т.е. переносимоекачество Υ = mu ( x ) - импульс, или количество упорядоченногодвижения одной молекулы.Дифференцируем Υ по xи подставляем в общее уравнение переноса (2.8):∂ u (x )∂Y=m,∂x∂x∂u∂Y11I Υ = − n0 v λ= − n0 v λm.∂x33∂x(4.2)(4.3)Сравнивая (4.3) с силой трения, отнесенной к единице поверхности соприкасающихся слоевI mu = −ηполучаем выражение для коэффициента вязкости13η∂u F=∂x S,(Максвелл 1860г.):13η = mn0 v λ = ρ v λ .Коэффициент вязкости.1).1313η = mn0 v λ = m vОтсюда следует1σ 2.(4.4)(4.5)10а)η~ Tб)η ≠ η (P ) , т.е.

Характеристики

Список файлов лекций