Лекции_ 1_1 (549103), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2
. 
Будем различать последовательности, имеющие предел, и не имеющие предела. Общий член последовательности 
– переменная величина, значение которого определяется номером N. Эта величина является функцией аргумента N
ПАРАГРАФ 6: ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Опр. 1: Постоянное число 
называется пределом переменной
, если для любого сколь угодно малого числа 
, существует такой номер 
, что при выполнении неравенства 
следует выполнение неравенства:
В силу леммы о вещественных числах (№1) одно неравенство с модулем (1) равносильно двойному неравенству:
Неравенство (2) определяет на оси E так называемую E – окрестность точки a.
Неравенство (2) означает, что переменная точка находится в E – окрестности точки a.
Постоянное число a называется пределом переменной , если для любой сколь угодно малой E – окрестности точки a начиная с некоторого номера n (n > N), точка попадает в эту E – окрестность, и при своем дальнейшем изменении будет там находиться.
Limit – предел.
ПАРАГРАФ 7: БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Опр. 1: Переменная 
называется бесконечно малой, если её пределом является нуль.
Определение на языке 
: Переменная называется бесконечно малой, если для любого E > 0 существует такой номер N, что при выполнении неравенства n > N, следует выполнение неравенства:
ПРИМЕРЫ:
1. 
2. 
3. 
– не имеет предела.
ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИНАХ.
ЛЕММА №1:
Для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно выполнения равенства:
– бесконечно малая величина.
Результат следует из того, что разность 
есть расстояние от точки до её предела , это расстояние стремится к нулю, т. к. 
, и наоборот: если расстояние стремиться к нулю, то .
ЛЕММА №2:
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, есть величина бесконечно малая.
Доказательство:
Рассмотрим, например, сумму 3-х бесконечно малых.
Возьмем любое E > 0, т. к. 
,то по определению существует номер n такой, что будет выполняться три неравенства:
(по лемме №2 о вещественных числах).
Существует номер n, такой, что при n > N выполняется неравенство:
для 
, это и означает, что 
, Ч. Т. Д.
Опр. 2: Переменная называется ограниченной, если существуют такие m и M , что для всех выполняется равенство:
ПРИМЕР:
-
Sin n – ограниченное, т. к. |sin n| ≤ 1.
-
![]()
3. 
– не является ограниченным.
(О. П. – ограниченная переменная).
ЛЕММА №3:
Произведение о. п. на б. м. есть величина б. м.
Пусть
Требуется доказать, что:
Доказательство:
Пусть 
Возьмем , т.к. 
– бесконечно малая, то существует номер N такой что при: 
, 
Тогда 
.
, при 
, следовательно, выполняется неравенства:
,
Это и означает, что: 
– бесконечно малая.
ПАРАГРАФ 8: БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Опр. 1: Переменная 
, называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа 
существует такой номер , что если
Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: 
(где
– «или»)
по другому:
Опр. 2: Объединения 2-х промежутков 
, называются 
-окрестность бесконечности.
Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.
Пример: 
, если 
1
) 
2) 
-2, 4, -8, 16, -32, …
n
=1 n=2 n=3 n=4 n=5
Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины
– положительные б.б.
– отрицательные б.б.
ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ.
ЛЕММА №1:
Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…
Доказательство:
Пусть 
,
Это значит, что для любого сколь угодно большого числа 
существует N такой, что при следует выполнение неравенства:
ЛЕММА №2:
Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.
ПАРАГРАФ 9: ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.
ТЕОРЕМА №1: (о единственности предела).
Если переменная имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
От противного: Предположим, что имеет 
различных пределов.
По лемме №1 о б.м. имеют места 2 равенства:
Вычтем почленно из одного неравенства другое:
Это равенство противоречиво, т.к. с лева постоянное число неравное нулю, а справа, стремящаяся к нулю. Постоянное число не может стремиться к нулю. Противоречие доказывает теорему.
ТЕОРЕМА №2: (о предельном переходе в неравенстве.).
Пусть при всех n выполняется неравенство 
,и переменные и
имеют пределы:
;
Тогда:
, т. е. 
.
Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.
Доказательство: (от противного)
Предположим, что 
Выделим вокруг точек и
столь малые E – окрестности, чтобы они не пересекались.
По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные и попадут в свои E – окрестности предельных точек.
Это означает, что
, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.
Замечание:
Если при всех n выполняется 
(строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.
ПРИМЕР:
ТЕОРЕМА №3: (о стабилизации знака неравенства.).
Пусть предел 
и 
, тогда, начиная с некоторого номера n, переменная 
.
Доказательство:
Выберем столь малую E – окрестность точки , чтобы она целиком располагалась правее
. По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменная 
попадает в E – окрестность точки . Но это и означает, что для этих n:
Замечание:
Аналогично доказывается теорема о том, что если 
и 
, то, начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство: 
.
ТЕОРЕМА №4: (арифметические операции над переменными, имеющими предел).
Пусть существуют пределы: и 
, тогда существуют пределы переменных:
1. 
2. 
3. 
1. 
2. 
3. 
Доказательство:
Доказываем второй случай, остальные доказываются аналогично.
2 случай:
,
.
По Лемме №1 о бесконечно малых выполняется:
– сумма трех переменных.
Переменная представилась в виде суммы: постоянной 
и бесконечно малой , это и означает, что постоянная и есть предел этой переменной.
, ч. т. д.
Эта теорема представляет другие возможности вычисления предела:
ТЕОРЕМА №5: (об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).
Пусть переменная 
имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство 
, где 
и 
– некоторые постоянные числа.
Доказательство:
Возьмем производную 
, по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:
Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*) лишь конечное число: 
Рассмотрим множество чисел: 
выберем из них самое большое и обозначим 
, тогда при всех 
выполняется: 
, ч. т. д.
ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства 
, причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная 
также имеет предел, причем тот же самый.
Доказательство:
Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:
и 
В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):
Это и означает, что переменная имеет пределом .
, ч. т. д.
ПАРАГРАФ 10:ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Опр. 1: Постоянное число 
называется пределом функции 
при 
, если для любого существует число 
, такое, что при выполнении неравенства 
следует выполнение неравенства 
.
или 
Запишем неравенство (1) и (2) без модуля:
Двойное неравенство (3) определяет 
– окрестность точки 
на оси абсцисс.
Двойное неравенство (4) определяет – окрестность точки на оси ординат.
Определение предела функции означает, что по выделенной производной
– окрестности точки на оси 
определяется – окрестность. Есть точка 
на оси 
такая, что как только переменная 
попадает в – окрестность своей предельной точки , так сейчас же переменная 
попадает в – окрестность своего предельного значения .
Замечание
В определении предела указывается, что 
т. к. в точке функция может быть не определена.
Все теоремы о пределах, сформулированные и доказанные для случая переменной 
, т. е. последовательности, переносятся без существенных изменений на случай предела функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
