Лекции_ 1_1 (549103), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ПАРАГРАФ 11: ОДНОСТОРОНИЕ ПРЕДЕЛЫ СЛЕВА И СПРАВА ТОЧКИ .

Сформулированное определение предела в предыдущем параграфе относится к так называемому двустороннему пределу, что означает, что переменная приближается к своему предельному значению с любой стороны, и слева, и справа. В некоторых случаях двусторонний предел может не существовать, но существуют односторонние пределы, когда переменная приближается к только с одной стороны, или слева, или справа. В этом случае указывается соотношение или .

Запись

– предел слева.

– предел справа

Второй вариант записи:

– предел слева.

ТЕОРЕМА:

Для того, чтобы в точке существовал двусторонний предел функции, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и они были равны между собой:

ПАРАГРАФ 12: ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Опр. 1: Постоянное число называется пределом функции при , если для любого можно указать число , что при выполнении неравенства , следует выполнение неравенства: .

Заменим неравенства (1) и (2) без модуля:

Геометрическая интерпретация определения предела:

Неравенство (1) или (1а) определяет так называемую – окрестность бесконечности.

.

Если функция имеет предел на бесконечности равное , то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.

Постоянное число называется пределом функции при , если для любой – окрестности точки на оси существует – окрестность бесконечности на оси такая, что как только аргумент попадает в – окрестность бесконечности, так сейчас же функция попадает в – окрестность точки .

ПРИМЕР:

График имеет асимптоту горизонтальную .

Общее определение предела на бесконечность сохран., но дополняет указанный знак бесконечности. Все теоремы о пределах для всех модификаций определения предела сохраняются.

ПАРАГРАФ 13: ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.

I.

Функция – четная, поэтому можно ограничится только положительными значениями и т. к. , то можно ограничится значениями в первой четверти, т. е. . Рассмотрим площади трех фигур:

.

.

– радианная мера угла.

Т. к. фигуры вложены друг в друга, то их площади связаны неравенством:

Из неравенства (2) вытекает, что при ,как меньшая величина, тоже стремиться к нулю. Из формулы (*) следует, что при .По теореме о сжатой переменной и по формуле (3) заключаем, что при .

.

ПРИМЕРЫ:

1.

2.

Формула (4) записана иначе:

II. Второй замечательный предел.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Переменная называется возрастающей в узком смысле (строго возрастает), если при следует .

2. Переменная называется строго убывающей, если при следует .

3. Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

4. Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

5. Все перечисленные переменные называются монотонными переменными. Они могут быть строго монотонными и не строго монотонными.

ТЕОРЕМА:

1. Если переменная возрастает в узком или широком смысле и ограничена с верху (означает, что её значения ограничены с верху), то она имеет конечный предел.

2. Если переменная убывает в узком или широком смысле и ограничена снизу (её значения ограничены снизу), то она имеет конечный предел.

Можно доказать, что переменная строго возрастает и ограничена сверху числом 3. По теореме о существовании предела и ограниченной монотонной переменной можно утверждать, что рассматриваемая переменная имеет предел:

В дальнейшем будет выведена формула, позволяющая вычислить этот предел с любой степенью точности

Число лежит в основании так называемых натуральных логарифмов.

– модуль перехода.

С числом связано несколько функций, рассмотренных в математике.

Гиперболические функции:

1. – синус гиперболический.

2. – косинус гиперболический.

3. – тангенс гиперболический.

4. – котангенс гиперболический.

–1

Свойство этих функций:

– нечетные функции,

– четная функция.

– имеют горизонтальные асимптоты на «+» и на « – » бесконечности.

– имеет вертикальную асимптоту.

Формулы гиперболической тригонометрии.

Для гиперболической функции существует система формул, составляющих так называемую гиперболическую тригонометрию.

Основное гиперболическое тождество:

Доказательство:

и.т.д.

Распространение формулы (7) для второго замечательного предела на любое значение аргумента. Способ стремления аргумента к бесконечности.

Доказательство:

Для любого значения найдется такое натуральное ,что будет выполняться неравенство:

Будем пользоваться свойствами степенной и показательной функции.

Примем теорему о сжатой переменной…ч.т.д.

Доказательство:

Ч.Т.Д.

Формулы (11) и (12) записываются в виде однообразной формулы.

ПАРАГРАФ 14: ВЗАИМНЫЕ ПРЕДЕЛЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ВТОРОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ.

1.

Рассмотрим:

О непрерывности логарифмической функции. Знак предела и логарифма можно поменять местами.

2. Частный:

3.

получили по формуле (1).

4.

5.

ПАРАГРАФ 15: СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЕНЬКИХ.

Характеристики

Список файлов лекций