g10 (542473), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

, где - единичный транспонированный вектор размерности n.

Чистую стратегию можно представить как частный случай смешанной, когда - одна единица в j - ой позиции.

Основной теоремой в теории игр двух лиц с нулевой суммой является теорема о минимаксе(доказана Фон Нейманом).Согласно этой теореме любая конечная игра с нулевой суммой(ИНС) имеет решение, если допускается использование смешанных стратегий.

Вполне определенная игра имеет решение в области чистых стратегий, причем это решение может быть не единственным.

Не полностью определенная игра имеет решение возможно не единственное, при котором хотя бы один из игроков применяет случайное комбинирование стратегий. Так, ожидаемый выигрыш( математическое ожидание ) игрока 1 в предположении , что он использует вектор вероятностей , а игрок 2 применяет свою j - ую стратегию, равен

Игрок 1, стремящийся достичь наибольшего из гарантированных ожидаемых выигрышей, выбирает вектор вероятностей так, чтобы получить

( 10.3.0)

где

.

Цель игрока 2 - достичь

( 10.3.0)

Теорема о минимаксе утверждает, что существует хотя бы одна пара стратегий , при которых

.

,

где - цена игры, - решение ( 10.3 .0), - решение ( 10.3 .0).

При любых векторах выполняются соотношения

.

Цена игры - единственная, а соответствующие ей векторы вероятностей оптимальных смешанных стратегий могут быть не единственными.

10.3.3Игры двух участников с ненулевой суммой.

В игре с ненулевой суммой уже не обязательно, чтобы один из участников выигрывал, а другой проигрывал; напротив, они могут и выигрывать, и проигрывать совместно. Поскольку интересы игроков в такой игре не являются полностью противоположными, то имеется возможность сообщать друг другу о своих намерениях, координировать свои действия с партнером. Игры с ненулевой суммой делятся на кооперативные и некооперативные.

В некооперативных играх игроки принимают решения независимо друг от друга либо потому , что:

1. координация запрещена;

2. осуществление соглашения невозможно.

Примером 1) могут служить антитрестовские законы, запрещающие некоторые виды соглашений между фирмами, а примером 2) - заключение международных торговых соглашений, навязать которые трудно или невозможно.

Одним из подходов к решению некооперативной игры является определение точки равновесия. Точкой равновесия является пара векторов, определяющих оптимальные смешанные стратегии каждого из игроков.

Равновесие - это набор таких смешанных стратегий, которые невыгодно самостоятельно изменять ни одному из игроков.

для .

,

где

- матрица выигрыша первого игрока,

- матрица выигрыша второго игрока.

В каждой конечной игре двух лиц существует пара векторов смешанных стратегий, приводящих к точке равновесия. Такая пара может быть не единственной, и может оказаться, что различным парам соответствуют различные значения(ожидаемого) выигрыша.

Пример.

Д вое подростков едут навстречу друг другу на автомобилях. Проигравшим считается тот, кто первым свернет в сторону.

Если один свернул в сторону, а другой нет, то «выигравший»получает 5, а проигравший получает -5. Если оба свернули, то ничья, каждый выиграл 0.

Если оба не свернули, то катастрофа(авария).

В данном случае, когда ни один из игроков не отказывается от своей стратегии независимых действий, существуют две точки равновесия ( 5 , -5 ) и ( -5 , 5 ).

Характеристики

Список файлов книги