1612042198-940435de999aa94e84403ad85f979b35 (542299)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Метод подвижного репера Картана. ТеоремаПуанкаре.Рассмотрим гладкую ориентированную регулярную поверхность Σ с первой квадратичной формой ds2 . Предположим, что на поверхности (локально) задана пара касательных векторных полей V1 , V2 , образующих в каждойточке ортонормированный положительно ориентированный базис касательной плоскости. Введем в рассмотрение двойственный базис, состоящий из1-форм e1 и e2 таких, чтоei (Vj ) = δji .Ясно, что ds2 = (e1 )2 + (e2 )2 , и 2-форма e1 ∧ e2 является формой площадиповерхности Σ.Положимde1 = α1 · e1 ∧ e2 , de2 = α2 · e1 ∧ e2 ,для подходящих функций α1 и α2 . Дифференциальная 1-форма ω = −α1 e1 −α2 e2 называется формой связности метрики ds2 относительно репера {V1 , V2 }.Лемма 1. Форма связности ω однозначно определяется следующей парой уравнений:de1 = −ω ∧ e2 ,(1)de2 = ω ∧ e1 .Доказательство очевидно.Пусть теперь в некоторой области задано еще одно поле реперов Ṽ1 , Ṽ2с соответсвующими 1-формами ẽ1 и ẽ2 .

Понятно, что поле Ṽ1 , Ṽ2 задаетсяоднозначно углом φ, отсчитываемым от вектора V1 к вектору Ṽ1 , и наделенным знаком в зависимости от ориентации поверхности. Вторая пара реперовопределяет форму связности ω̃ той же метрики. Как связаны формы ω иω̃?Лемма 2. Форма связности пересчитывается при изменении репераследующим образом:ω̃ = ω − dφ,где φ — угол, на который поворачивается репер.Доказательство. По условию,Ṽ1 = cos φ · V1 + sin φ · V2 ,Ṽ2 = − sin φ · V1 + cos φ · V2 .Переходя к двойственному базису, находим:ẽ1 = cos φ · e1 + sin φ · e2 ,ẽ2 = − sin φ · e1 + cos φ · e2 .1Следовательно,dẽ1 = − sin φ · dφ ∧ e1 + cos φ · de1 + cos φ · dφ ∧ e2 + sin φ · de2 =− sin φ · dφ ∧ e1 − cos φ · ω ∧ e2 + cos φ · dφ ∧ e2 + sin φ · ω ∧ e1 =(−ω + dφ) ∧ (− sin φ · e1 + cos φ · e2 ) = −(ω − dφ) ∧ ẽ2 .Совершенно аналогично находимdẽ2 = (ω − dφ) ∧ ẽ1 .Тогда из леммы 1 следует, что ω̃ = ω − dφ.

¤Лемма 2 показывает, что дифференциальная 2-форма Ω = dω не зависит от выбора репера {V1 , V2 } и определяется лишь внутренней геометриейповерхности. Форму Ω = dω называют формой кривизны.Теорема 1. Форма кривизны Ω удовлетворяет уравнению:Ω = dω = K · e1 ∧ e2 ,(2)где K — гауссова кривизна поверхности.Уравнения (1), (2) называются структурными уравнениями Картана.Доказательство. Выберем в окрестности некоторой точки полугеодезические координаты x, y.

Таким образом, ds2 = dx2 + G · dy 2 , где G =G(x, y) > 0 — некоторая функция. Мы знаем, что в полугеодезических координатах гауссова кривизны выражается формулой1 √K = − √ ( G)xx .GВ силу леммы 2, форма Ω не зависит от выбора поля реперов, поэтомудостаточно доказать формулу(2) для любого удобного√нам репера. По√12ложимe=dx,e=G·dy.Тогда de1 = 0, de2 = ( G)x · dx ∧ dy =√112√ ( G)x · e ∧ e , следовательноG1 √ω = − √ ( G)x · e2 .GИтак,!Ã √1 √( G)x√· e1 ∧ e2 − √ ( G)x · de2 =Ω = dω = −GGxÃÃ √!√ 2!( G)x( G)x1 √√−+· e1 ∧ e2 = − √ ( G)xx · e1 ∧ e2 = K · e1 ∧ e2 ¤GGGxРассмотрим теперь замкнутую ориентированную поверхность Σ с глобально определенным гладким касательным векторным полем V .

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что поле V имеет конечное число2нулей векторного поля V . Пусть p ∈ Σ, U ⊂ Σ — открытая область, гомеоморфная кругу, содержащая точку p и не содержащая нулей поля V(кроме, может быть, самой точки p). Рассмотрим замкнутую кривую γ(t)обходящую границу области U в направлении, согласованном с ориентацией поверхности Σ.

Следовательно, в каждой точке γ(t) определен угол (сучетом знака) от вектора γ(t)dt до вектора V (γ(t)), обозначим его через α(t).Определим индекс поля V в точке p как целое числоZ1ind p V = 1 +dα.2π γЛемма 3. Данное выше определение индекса векторного поля не зависит от выбора кривой γ. Если V (p) 6= 0, то ind p V = 0.Доказательство.

Ясно, что если выбрать другую область U 0 и другуюкривую γ 0 , то кривые γ 0 и γ гомотопны, т.е. существует непрерывное семейство γu (t), 0 ≤ u ≤ 1 замкнутых кривых, ограничивающих области Uu ,причем γ0 (t) = γ(t) и γ1 (t) = γ 0 (t). По своему определению ind p V целоечисло, непрерывно зависящее от u, значит это — константа. В частности,индексы, подсчитанные по кривым γ и γ 0 совпадают.Поскольку V (p) 6= 0, можно рассмотреть локальную систему (x, y) координат в некоторой окрестности p такую, что векторное поле V касательнок координатным линиям y = const . В качестве кривой γ можно рассмотреть окружность малого радиуса x2 + y 2 = ε2 .

Очевидно, что интеграл вопределении индекса равен −1, откуда ind p V = 0. ¤Замечание. Нетрудно увидеть, что если выбрать локальную системукоординат в окрестности точки p и перенести на координатную плоскостьзамкнутую кривую γ и поле V , то индекс равен числу оборотов вектора V(с учетом ориентации) при обходе по кривой γ в правильном направлении.Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат этойлекции.Теорема 2 (Пуанкаре). Пусть V — гладкое векторное поле с конечным числом нулей pi , i = 1, . .

. n на замкнутой ориентированной поверхности Σ. ТогдаnXind pi V = χ(Σ).i=1Доказательство. Окружим каждую точку pi замкнутой петлей γi , ограничивающей открытую окрестность Ui так, чтобы внутри каждой окрестности Ui не содержалось других нулей поля V кроме pi , и каждая область Ui покрывалась одной полугеодезической системой координат (xi , yi ).Пусть Σ̃ — поверхность с краем, полученная из Σ вырезанием областей Ui ,i = 1, . . . , n. Тогда векторное поле V на Σ̃ не имеет нулей, и мы можемположитьV.V1 =|V |3Далее, повернув в каждой точке вектор поля V1 на угол π/2 в положительном направлении мы получим поле V2 .

Таким образом, на Σ̃ определенополе реперов. Пусть ω и Ω — соответствующие формы связности и кривизны.В окрестности каждой точки pi рассмотрим ортонормированное полереперов V10 , V20 , направленных, соответсвенно по координатным осям xi , yi .Поле реперов V10 , V20 определяет в окрестности точки pi форму связностиdγi00iωi0 . Пусть αi — угол от dγdt до V1 , αi — угол от dt до V1 , φi — угол от000вектора V1 к V1 . Ясно, что αi = αi + φi .

Поскольку поле V1 не имеет нулейв окрестности точки pi , то из лемм 2 и 3 следует, чтоµZ¶Z10dαi −dαi = ind pi V1 − ind pi V10 = ind pi V1 = ind pi V.2πγiγiИспользуя теорему Гаусса-Бонне, теорему 1 и формулу Стокса, получаемZZ2πχ(Σ) =Kdσ =Kdσ +ΣΣ̃Zdω +Σ̃−n ZXi=1γiωi0 −i=1n ZXi=1−dφi +γin ZXi=1n ZXγii=1Kdσ = −Uii=1UiUiω+γii=1Uiγdαi0 = 2πKdσ =UiKdσ =Ui(−dωi0 + Kdσ) −Zγin ZXi=1n ZXi=1n ZXdαi −Ω+Σ̃n ZXKdσ =n ZXi=1ZKdσ =i=1n ZXdφi =n ZXn ZXi=1nXdφi =γiind pi V.¤i=1Следствие. Не существует ненулевого гладкого векторного поля наповерхности, гомеоморфной сфере.Последнее утверждение отвечает на вопрос «можно ли причесать ежика?».4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций