1612043261-26466bcacfe4dc1a2d9d9320e55b46b8 (542287), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Иными словами, либо E = C, либо ∃A0 ∈C : E = C\{A0 }Число A0 называется исключителым (или пикаровским) значением.Пусть z0 6= ∞ - изолированная особая точка функции f (z), B̊(z0 , δ0 ) ={z : 0 < |z − z0 | < δ0 } - окрестность, в которой f (z) аналитина. Вычетом´1функции f (z) отностительно точки z0 называется интеграл Res f (z) = 2πif (z)dz,z=z0γгде γ - любая окружность {z : 0 < |z − z0 | < δ}, 0 < δ < δ0В неизолированной особой точке понятие вычета не определено.Основная T h Коши о вычетахПусть функция f (z) аналитична в области D, ограниченной замкнутойкусочно-гладкой кривой γ и непрерывна в D; за исключением конечного10n´Pчисла изолированных особых точек z1 , .

. . , zn ∈ D. Тогда f (z)dz = 2πij=1γRes f (z)z=zjСледствиеПусть функция f (z) аналитична на C, за исключением конечного числаизолированных особых точек z1 , . . . , zn ∈ C. ТогдаnPRes f (z) + Res f (z) = 0z=∞j=1 z=zjФормулы для вычисления вычетов:Утв. 1Пусть z0 6= ∞ - устранимая особая точка для f (z). Тогда Res f (z) = 0z=z0Утв. 2Пусть z0 = ∞ - устранимая особая точка для f (z).

Тогда Res f (z) =z0 =∞lim [(f (∞) − f (z))z], f (∞) = lim f (z)z→∞z→∞Утв. 3Пусть z0 6= ∞ - простой полюс для f (z). Тогда Res f (z) = lim [f (z)(z −z=z0z→z0z0 )]Утв. 4ϕ(z)Пусть z0 6= ∞ простой полюс для f (z) = ψ(z), ϕ(z), ψ(z) - аналитическиефункции в точке z0 , ϕ(z0 ) 6= 0, ψ(z) имеет нуль первого порядка в этой0)точке. Тогда Res f (z) = ψϕ(z0 (z )0z=z0Утв. 5Пусть z0 6= ∞ - полюс порядка m для функции f (z).

Тогда Res f (z) =z=z01dm−1lim dzm−1 [f (z)(z(m−1)! z→z− z0 )m ]0Пусть γ - замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, t0 ∈ γ. Рассмотрим´функцию f (t), непрерывную на γ\{t0 }. Тогда в обычном смысле f (t)dtγне определён. Возьмём точки M1 , M´2 ∈ γ, обозначим γM1 ,M2 - поддуга γ,т.ч. t0 ∈/ γM1 ,M2 . Если ∃ limf (t)dt, то говорим что определёнM1 →t0 |γ γM1 ,M2´сходящийся несобственный интеграл f (t)dt.M2 →t0 |γγ´Пусть γM1 ,M2 = γ\B(t0 , ε) = γε . Тогда, если ∃lim f (t)dt, то говорим,ε→0γεчто определён интеграл в смысле главного значения (по Коши).ЛеммаПусть D - неограниченная область с кусочно-гладкой границей кривойγ, f (z) аналитична в D и непрерывна в D\{∞}, за исключением конечногочисла изолированных особых точек z1 , .

. . zn ∈ D, причём |z||f (z)| → 0; |z| =z∈Dn´PR, R → ∞, тогда f (z)dz = 2πiRes f (z)γj=1 z=zj11.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)