1612043261-26466bcacfe4dc1a2d9d9320e55b46b8 (542287)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Справедлива формула:|z|2 = zzyarctg( x ); z ∈ I, IVarg(z) = arg(x + iy) = arctg( xy ) + π; z ∈ IIarctg( xy ) − π; z ∈ IIIarg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) с точностью до 2πУравнение сферы Римана: ξ 2 + η 2 + ς 2 − ς = 0|z|2yxФормулы стереографической проекции: ξ = 1+|z|2 ; ς = 1+|z|2 ; η = 1+|z|2Окрестностью бесконечно удалённой точки z = ∞ называется множество:{z : |z| > R}, R > 0Точка z0 называется:Изолированной точкой множества E ⊂ C, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ∩ E ={z0 }/Предельной точкой множества E, если ∀δ > 0, B(z0 , δ)˚∩ E 6= OВнутренней точкой множества E, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ⊂ E/Внешней точкой множества E, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ∩ E 6= OГраничной точкй множества E, если ∀δ > 0в B(z0 , δ)есть точки, принадлежащиеи непринадлежащие EГраница множества - совокупность всех граничных точек.Множество E называется закмнкутым, если оно содержит все свои предельныеточкиМножество E называется ограниченным, если ∃R > 0 : E ⊂ B(0, R)diam(E) := sup|z1 − z2 |z1 ,z2 ∈Eρ(E1 E2 ) := inf |z1 − z2 |z1 ∈E1 ,z2 ∈E2Множество E называется открытым, если каждая его точка являетсявнутреннейМножествоE называется связным, если его нельзя представить в видеобъединения двух непустых непересекающихся множеств, каждое из которыхне содержит предельных точек другого.Множество E называется областью, если оно - непустое, открытое, связное.Множество E называетсязамкнутой областью (континуумом), если оно- непустое, замкнутое, связное.Множество E называется компактным, если из любого его открытогопокрытия можно выбрать конечное подпокрытие.C - компактно, C - нет.Компонента связности множества E - его максимальное связное подмножество.Область называется n-связной, если его граница состоит ровно из nкомпонент связности.Утв.Последовательность {zn }, zn = x+iyn сходящаяся к числу α = a+ib ⇐⇒сходятся одновременно последовательности {xn }и {yn }, и lim(xn ) = a, lim(yn ) = bn→∞Критерий Коши сходимости ряда:∞PP kРядzn сходится ⇐⇒ ∀ε > 0∃N = N (ε)∀n > N ∀k ≥ 0|zn+m | < εn=0m=01График функции - Γf = {(z, w) : z ∈ E, w = f (z)} ⊂ C " C = R4Функция f : E → C называется однолистной, если ∀z1 , z2 ∈ E(z1 6=z2 )f (z1 ) 6= f (z2 )Если функция f : E → C - однолистная, то определена обратная функция:f −1 : f (E) → E(z = f −1 (W ))Пусть z0 ∈ E - предельная точка множества E;f : E → C.

Говорим, чтоf (z) имеет предел функции в точке z0 ;lim(f (z)) = w0 , если ∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0, т.ч. как только z0 ∈ B̊(z0 , δ) ∩z→z0E ⇒ |f (z) − w0 | < εЕсли z0 - изолированная точка множества E, то f (z) считается непрерывнойв этой точке по определению.Функция f (z) называется равномерно непрерывной на множестве E,если ∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0|z1 − z2 | < δ(z1 , z2 ∈ E) ⇒ |f (z1 ) − f (z2 )| < εThПусть функция f : E → C - непрерывная, заданная на компактноммножестве E ⊂ C, тогда:1)f (z) ограниченная на множестве E2)f (z) достигает на E своих наибольшего и наименьшего значений помодулю (T h Вейерштрасса)3)f (z) равномерно непрервыная на множестве E (T h Кантора)Пусть x(t), y(t) (- непрерывные функции на отрезке [α, β] ⊂ R, тогдаx = x(t)система уравнений, t ∈ [α, β] определяет на плоскости непрерывнуюy = y(t)кривую γ = {z = z(t) = x(t) + iy(t)}Непрерывная кривая называется кривой Жордана, если ∀t1 , t2 ∈ [α, β] :t1 6= t2 , z(t1 ) 6= z(t2 ), за исключением, возможно, случая t1 = α, t2 = βЕсли z(α) = z(β), кривая Жордана называется замкнутой, иначе - незамкнутой(Жордановой дугой).Кривая Жордана называется спрямляемой, если она имеет конечнуюдлину.T h ЖорданаЗамкнутая кривая Жордана разбивает плоскость на две области - содержащуюточку z = ∞ (внешнюю) и не содержащую точку z = ∞ (внутреннюю),являясь их общей границей.Кривая Жордана называется гладкой, если функции x(t), y(t) являетсянепрерывно дифференцируемыми на интервале (α, β); z 0 (t) = x0 (t)+iy 0 (t) 6=0 ∀t ∈ (α, β); ∃lim(z 0 (t)) 6= 0и ∃ lim(z 0 (t)) 6= 0 и эти пределы равны в случаеt→α+0t→β−0замкнутой кривой.Утв.Кусочно-гладкая кривая является спрямляемой.β́ p´(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dtl(y) = dS =γαЛемма о стандартном радиусе2Если γ - главдкая жорданова замкнутая кривая, то ∃ δ0 = δ0 (γ) > 0,т.ч.

любая окружность с центром в произвольной точке z0 ∈ γ радиусаδ ≤ δ0 пересекает γ ровно в двух точках. Число δ0 из этой леммы будемназывать стандартным радиусом гладкой кривой γ.∞Pfk (z) - функциональный ряд (1), где E ⊂ C, fk : E → C, k −k=1натуральное числоЕсли ряд (1) сходится ∀z ∈ E(к функциии S(z)), то ряд называетсяпоточечно сходящимся.

Т.е. ∀z ∈ E ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n ≥ N |S(z) −nPSn (z)| < ε, где Sn (z) =fk (z)k=1Функциональлный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множествеE, если ∀ε > 0 ∃N = N (ε), |S(z) − Sn (z)| < ε ∀z ∈ EПризнак Вейерштрасса равномерной сходимости∞PЕсли n0 ∈ N : ∀k ≥ n0 , ∀z ∈ E, |fk (z)| ≤ αk иαk сходится, то ряд∞Pk=n0fk (z) сходится равномерно и абсолютно на множестве Ek=1Th∞PЕсли fk : E → C - непрерывные на E функции иfk (z) = S(z) k=1равномерно сходящаяся на E, то S(z) - непрерывная на E функцияT h Коши-АдамараpПусть l = lim n |cn |, тогда:n→∞∞P(1) При l = 0 рядcn (z − z0 )n сходится ∀z ∈ C (абсолютно).n=0∞Pcn (z − z0 )n сходится только при z = z0 .(2) При l = ∞ рядn=0(3) При 0 < l < ∞ ряд∞Pcn (z−z0 )n сходится абсолютно при |z−zn | <n=01lи расходится при |z − z0 | > 1lR = 1l - формула Коши-Адамара. R - радиус сходимости степенного∞Pрядаcn (z − z0 )n , а круг {z : |z − z0 | < R} - круг сходимости степенногоn=0ряда.Замечание.(1) В круге сходимости ряд не обязан сходиться равномерно.∞P(2) Рядcn (z − z0 )n сходится равномерно в круге {z : |z − z0 | ≤ r},n=0где 0 < r < R - любое число.(3) На границе круга сходимости характер сходимости может быть любым.∞Pznez =n!n=0cos(z) =∞Pn=0(−1)n z 2n(2n)!3sin(z) =∞Pn=0(−1)n z 2n+1(2n+1)!Пусть D ∈ C - область; определена функция fk : D → C; z0 ∈ D.Функция f (z) называется дифференцируемой (моногенной) в точке z0 , если(z0 )∃ lim f (z0 +∆z)−f:= f 0 (z0 )∆z∆z→0(∂u∂v∂x = ∂y0Если ∃f (z0 ), то в точке выплняется условие Коши-Римана: ∂u∂v∂y = − ∂x- необходимое условие дифференцируемостиT h Достаточное условие дифференцируемостиЕсли для функцияя f (z) = u(x, y) + iv(x, y) в точке z0 выполняетсяусловие Коши-Римана и функции u, v дифференцируемы в точке z0 , тогдаf (z) дифференцируема в точке z0∂∂∂∂= 12 ( ∂x− i ∂y); ∂z=Операции формальных производных по z, z : ∂z∂1 ∂2 ( ∂x + i ∂y )Функция f (z) - дифференцируема ⇐⇒ Выполнены условия КошиРимана, а также u, v - дифференцируемы0∆f = ∂f∂z ∆z + o(|z|) = f (z)∆z + η(∆z)∆z, где lim η(∆z) = 0.

Линейная∆z→0часть f 0 (z)∆z - дифференциал.Пусть D ⊂ C - область, z0 ∈ D. Функция f : D → C называетсяаналитической в точке z0 , если ∃ окрестность B = B(z0 , δ) ⊂ D, т.ч.∃f 0 (z) ∀z ∈ BАналитичность в точке даёт дифференцируемость в точке.Аналитичность в обласи равносильна дифференцируемости в области.Th∞PСумма степенного ряда S(z) =ck z k является аналитической функциейk=0в круге сходимости этого ряда; S 0 (z) = S0 (z) =∞Pkck z k−1 и радиусыk=1сходимости этих двух рядов совпадают.Модуль производной в точке равен коэффициенту искажения длиныкривой в этой точке.Отображение области D ⊂ C называется конформным, если оно осуществляетсяоднолистной и аналитической функцией (в данной области) для которойf 0 (z) 6= 0 ∀z ∈ D. Для такого отображения определено обратное z = f −1 (w),∆z11причём (f −1 )0 (w0 ) = lim ∆w= lim ∆w= f 0 (z. Отображение, обратное0)∆w→0∆z→0∆zк конформному - конформно.ThКонформное отображение сохраняет ориентацию и в каждой точке обладаетсвойствами постоянства искажения масштаба и концентрации углов.Отображение, осуществляемое функцией w = f (z) = az+bcz+d (a, b, c, d ∈C),называется дробно-линейным (ДЛО).Условие однолистности ДЛО: ad − bc 6= 0w = az + b - линейное отображение; тогда:4Линейное отображение - композиция растяжения в |a| раз, поворота наугол α против часовой стрелки вокруг начала координат и парарллельногопереноса на вектор b.Групповые свойства ДЛО:(1) Композиция- ДЛО, причём ДЛОA Ba 1 b1a2 b2=C Dc1 d1c2 d 2(2) Обратное к ДЛО - ДЛО, причём −1A Ba b=C Dc dЛемма о представлении ДЛОПусть w - ДЛО.

Тогда либо w - линейное отображение, либо w = l1 ◦j ◦l2 ,где l1 , l2 - линейные, а j(z) = z1Обобщённой окружностью называется окружность одного из следующихвидов:(1) Прямая с присоединённой к ней точкой z = ∞(2) Обычная евклидова окружность {z : |z − z0 | = R}, z0 ∈ C, R > 0Уравнение общей окружности: A|z|2 + Bz + Bz + C = 0, A, C ∈ RT h круговое свойство ДЛОПусть S - обобщённая окружность; w - ДЛО, тогда w(S) - обобщённаяокружность.ЗамечаниеЕсли S - обобщённая окружность и w - ДЛО, то(1) w(S) - прямая ∪∞ ⇐⇒ − dc ∈ S(2) w(s)- евклидова окружность ⇐⇒ − dc ∈/SПусть S - обобщённая окружность, тогда точки z, z∗ называются симметричнымиотносительно S, если:(1)S - прямая∪∞(2)S - евклидова окружность {z : |z − z0 = R|}И выполняется условие: точки z, z∗ лежат на одном луче, выпущенномиз центра окружности z0 ,при этом |z − z0 ||z ∗ −z0 | = R2 , если z ∈ S, тоz = z∗T h Принцип симметрии ДЛОПусть точки z, z∗ симметричны относительно обобщённой окружностиS, w - ДЛО.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)