1612043261-26466bcacfe4dc1a2d9d9320e55b46b8 (542287), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда w(z), w(z∗) - симметричны относительно w(S)Лемма об ортогональных окружностяхТочки z1 , z2 симметричны относительно обобщённой окружности S ⇐⇒любая точка обобщ. окр. Γ, проходящая через z1 , z2 , ортогональная S(т.е. угол между двумя касетальными, проведёнными в точке пересечения- прямой).Если z, z∗ симметричны относительно S = {z : |z − z0 | = R}, то z ∗ −z0 =R2 (z−z0 )|z−z0 |2Преобразование симметрии (инверсия относительно S) - z∗ = gs (z) =2(z−z0 )z0 + R|z−z20|51 −z2 )(z3 −z4 )Ангармоническое отношение < z1 , z2 , z3 , z4 >:= (z(z1 −z3 )(z2 −z4 )T h Об инвариантности ангарманического отношенияПусть z1 , z2 , z3 , z4 - произваольная тетрада, w - ДЛО.
Тогда < z1 , z2 , z3 , z4 >=<w(z1 ), w(z2 ), w(z3 ), w(z4 ) >СледствиеПусть z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C, zj 6= zk , j 6= k, w1 , w2 , w3 ∈ C, wj 6= wk , j 6= k.Тогда ∃!ДЛО w : w(zj ) = wjВиды канонических областей: верняя полуплоскость, единичный круг.ThОбщий вид для ДЛО, переводящих верхнюю полуплоскоть на единичныйπ0круг задаётся формулой: w = ei(ϕ+ 2 ) z−zz−z0 , Im(z0 ) > 0, ϕ ∈ (−π, π), w(w(z0 ) = 0удовлетворяет условиям (нормировкам)arg(w0 (z0 )) = ϕОбластью однолистности функции f : dom(f ) → C называется такаяобласть D ⊂ dom(f ), что f (z) однолистна в D и ¬∃ области ∆ : D ⊂∆ ⊂ dom(f ) (D 6= ∆), что f (z) однолистна в ∆.
Область однолистности необязательно единственна для функции.1Исходная функция w = z n , обратная многозначная функция z = w n =arg(w)+2kπ1n, zk - ветви многозначной функции. Само исходное отображение|w| n eiназывается n-листным.1На римановой поверхности функция w n однозначна и однолистнаТочка, обход вокруг которой в малой окрестности приводит к другомузначению функции при непрерывном её изменении, называется точной ветвления.Если обход n раз вокруг точки ветвления приводит к изначальномузначению, то это точки ветвления алгебраического порядка (n-1)Точки ветвления, обход вокруг которых любое количество раз не возвращаетк начальному значению, называются трансцендентными.Для f : Γ → C - непрерывной функции, интегралом по кривой Γ,n´´Pназывается предел lim Sn = (udx − vdy) + i (vdx + udy), где Sn =n→∞k=0ΓΓf (ςk )∆zk , а ∆zk = zk+1 − zkn ´´Pf (z)dzЕсли Γ - кусочно-гладкая жорданова кривая, то f (z)dz :=Γj=1 ΓjОбласть D называется жордановой, если её граница состоит из конечногочисла замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых.
Γ1 , ..., Γn лежатвнутри Γ0n ´´´PИнтеграл по границе - f (z)dz := f (z)dz−f (z)dzj=1 ΓjΓ0∂DСвойства интеграла:(1) Если Γ = {z = z(t) : t ∈ [α, β]} - гладкая жорданова кривая, то´β́f (z)dz = f (z(t))z 0 (t)dtΓ´ α´´(2) (αf (z) + βg(z))dz = z = α f (z)dz + β g(z)dzΓΓΓ6´(3)´f (z)dz = −f (z)dzΓ−Γ+(4) Если Γ - кусояно-гладкая жорданова кривая, число точек (Γj ∩ Γk )n´Pне больше двух, то f (z)dz = −f (z)dzj=1´´Γ(5) | f (z)dz| ≤ |f (z)||dz| ≤ max|f (z)|l(Γ)Γz∈ΓΓ(6) Если fn (z) - последовательность непрерывных функций на Γ равномерносходитсяf (z), то f (z)´ на Γ к функции´´ интегрируема на Γ (т.к. непрерывна)и lim fn (z)dz = [ lim fn (z)]dz = f (z)dzn→∞ΓΓ(6’) Если рядn→∞∞PΓfn (z) (fn - непрерывны на Γ) равномерно сходится наn=1∞∞ ´´ PPfn (z)dzΓ, то (fn (z))dz =Γ n=1n=1 ΓПримечаниеЕсли Γ - кусочно-гладкая кривая жордана с началом в a и концом в b,тогда ´(1) dz = b − a´Γ(2) zdz = 21 (b2 − a2 )ΓT h КошиЕсли функция f (z) аналитична в односвязной области D,´ тогда длялюбой замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой γ ⊂ D f (z)dz = 0γЛемаа ГурсаЕсли функция f (z) непрерывна в области D, то для любой кусочногладкой жордановойкривойγ ⊂ D и ∀ε > 0 ∃ ломанная γε ⊂ D с вершинами´´на γ, т.ч.
| f (z)dz − f (z)dz| < εγγεОбобщённая T h КошиЕсли функция f (z) аналитична в области D, ограниченной´ замкнутойкусочно-гладкой жордановой кривой Γ, и непрерывна в D, то: f (z)dz = 0ΓT h Коши для многосвязной областиПусть D - жорданова область, f (z) аналитична в D и непрерывна в D.m ´´´PТогда f (z)dz = f (z)dz−f (z)dz = 0∂DΓ0j=1 ΓjT h интегральная формула КошиПусть функция f (z) аналитична в области D, ограниченной замкнутой´ f (z)1кусочно-гладкой жордановой кривой Γ, и непрерывна в D.
Тогда 2πiz−z0 dz =Γ(0, z0 ∈/Df (z0 ), z0 ∈ DЗамечаниеВ интегральной формуле Коши область D может быть произвольной имногосвязной7Пусть γ - кусочно-гладкая жорданова кривая, f (t) - непрерывная на γ´ f (t)1функция. Функция F (z) = 2πi/ γ, называетсяt−z dt определённая ∀z ∈γинтегралом типа Коши.Если, дополнительно, γ - замкнутая кривая, γ = ∂D, и f (z) аналитичнав D и непрерывна в D, то F (z) = f (z), в силу интегральной формулы Коши.T h О производных интеграла типа Коши.Функция F (z) является аналитической в каждой точке z ∈ C\γ, причём´ f (t)10F (z) = 2πi(t−z)2 dt.
Более того, F (z) имеет производные всех порядков иγ´ f (t)n!F (n) (z) = 2πi(t−z)n+1 dt.γСледствиеАналитическая функция в области D имеет производные всех порядковУтв.F (∞) = lim F (z) = 0z→∞T h МорераЕсли функция f (z) непрерывная в областиD, и для любой замкнутой´кусочно-гладкой жордановой кривой γ ⊂ D f (z)dz = 0, то f (z) аналитичнаγвDСовокупность аналитических в D функций Φ(z), т.ч.
Φ0 (z) = f (z),называется неопределённым интегралом от функциия f (z)T hТейлораАналитическая в области D функция, в окрестности каждой точки z0 ∈D единственным образом представима сходящимся степенным рядом: f (z) =∞Pn=0(n)cn (z − z0 )n , где cn = f n!(z0 ) , и радиус сходимости этого ряда не меньшечисла ρ(z0 , ∂D)Пусть функция f (z) аналитична в круге {z : |z − z0 | < R}, 0 < r <- Неравенства КошиR, M (r) = max |f (t)|. |cn | ≤ Mr(r)n|t−z0 |T h ЛиувилляАналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости функцияпостоянна.Внутреняя T h единственностиЕсли две аналитические в области D функции f (z), g(z) совпадают намножестве E ⊂ D, имеющем в D хотя бы одну предельную точку, то f (z) ≡g(z), всюду на DПусть f (z) аналитична в точке z0 , тогда z0 называется нулём функцииf (z), если f (z0 ) = 0Следующие утверждения эквивалентны (для аналитичных в z0 функций)(1) z0 - нуль порядка m для f (z)(2) f (z0 ) = ...
= f (m−1) (z0 ) = 0, f (m) (z0 ) 6= 0(3) f (z) = g(z)(z − z0 )m , g(z) - аналитическая функция в точке z0 иg(z0 ) 6= 08(4)lim f (z) kz→z0 (z−z0 )(0, k < m; k ∈ N=cm 6= 0, k = mУтв.Аналитическая в области D функция имеет в D не более, чем счётноечисло нулей.T h О среднемПусть функция f (z) аналитична в круге {z : |z − z0 | < R} : 0 < r < R.2π´1Тогда f (z0 ) = 2πf (z0 + reiϕ )dϕ0Принцип максимума модуляМодуль аналитической функции, отличной от тождественно постояннойфункции f (z) не может достигать своего максимума в области D.Следствие: Принцип минимума модуляЕсли функция f (z) 6= const, аналитична в области D и ∀z ∈ D f (z) 6= 0,тогда ∀z0 ∈ D |f (z0 )| > inf |f (z)|z∈DСледствиеЕсли функция f (z) 6= const, аналитична в области D и непрерывна в D,то максимум модуля функции f (z) достигается на границе.
Если, крометого, f (z) 6= 0 ∀z ∈ D, то и минимум модуля достигается на границе.Первая T h Вейерштрасса∞PЕсли ряд f (z) =fk (z), составленный из аналитических в областиk=0D функций fk (z) сходится равномерно на любом компактном мноэжестве∞P(p)K ⊂ D, то f (z) аналитичная в области D, ∀p = 1, 2, ... f (p) (z) =fk (z),k=0и этот ряд сходится равномерно на любом компактном множестве K ⊂ DСледствиеЕсли последовательность аналитических в области D функций fk (z)равномерно сходится на любом компактном множестве K ⊂ D к функции(p)f (z),то эта функция аналитична в области D, fk (z) → f (p) (z) и эта сходимостьтакже равномерная на любом компактном множестве K ⊂ DВторая T h Вейерштрасса∞PЕсли ряд f (z) =fk (z), составленный из аналитических в области Dk=0и непрерывных в D функций fk (z)равномерно сходится на Γ = ∂D, то этотряд сходится равномерно и в D∞−1PPc−kРассмотрим ряд S1 (z) =,S(z)=ck (z − z0 )k - главная1k(z−z0 )k=1k=−∞часть ряда Лорана.
S(z) = S1 (z)+S2 (z) =∞Pk=1c−k+(z−z0 )k∞Pk=0ck (z−z0 )k =∞Pk=−∞ck (z − z0 )k - ряд Лорана.T h ЛоранаАналитическая в кольце K = {r < |z−z0 | < R} функция f (z) единственным9∞Pобразом представима в этом кольце рядом Лорана: f (z) =ck (z − z0 )k ,k=−∞´f (t)1dt, где δ можно взять любым, таким чтопричём ck = 2πi(t−z0 )k+1|t−z0 |=δr<δ<RТочка z0 6= ∞ называется изолированной особой для некоторой функцииf (z), если существует проколотая окрестность точки z0 , B(z˚0 , δ), в которойf (z) аналитична, а в самой точке z0 функция f (z) не определена или неаналитична.Изолированная особая точка z0 для функции f (z) называется:а) Устранимой особой точкой, если главная часть ряда Лорана не содержитнулевых слагаемыхб) Полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечноечисло ненулевых слагаемыхв) Существенно особой точкой, если главная часть ряда Лорана содержитбесконечное число ненулевых слагаемыхУтв.Если z0 - устранимая особая точка f (z), то существует окрестность вкоторой f (z) ограничена.Число ненулевых слагаемых определяет порядок полюса.Точка z0 является нулём порядка m для функции f (z) ⇐⇒ z0 - полюс1порядка m для функции F (z) = f (z)T h Сохоцкого-ВейерштрассаМножество E значений, принимаемых аналитической фукнцией в проколотойокрестности существенно особой точки, всюду плотно на расширенной комплекснойплоскости.ЛеммаЕсли точка z0 существенно особая точка для f (z) и ∃ окрестность {0 <|z − z0 |<δ}, в которой f (z) 6= 0, то точка z0 - существенно особая и для1F (z) = f (z)T h ПикараАналитическая функция в любой окрестности существенно особой точки,в бесконечном числе точек принимает любое наперёд заданое значение,кроме, может быть, одного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
